Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2018. májusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.


C. 1483. Mennyi a \(\displaystyle 6|x - 1| + 5|x - 2| + 4|x - 3| + 3|x + 4| + 2|x - 5|\) kifejezés legkisebb értéke?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1484. Az \(\displaystyle ABCD\) olyan konvex négyszög, amelynek átlói nem merőlegesek egymásra. Az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) csúcsokból az \(\displaystyle AC\), illetve \(\displaystyle BD\) szakaszokra bocsátott merőlegeseknek létezik a csúcsoktól különböző talppontja, jelölje ezeket rendre \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle C_1\), \(\displaystyle D_1\). Bizonyítsuk be, hogy az ezek által meghatározott négyszög hasonló az eredetihez.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1485. Legyen \(\displaystyle x=1^2+3^2+5^2+\ldots+2017^2\) és \(\displaystyle y=2^2+4^2+6^2+\ldots+2018^2\). Adjuk meg az

\(\displaystyle \frac{y-x}{y+x-(1\cdot 2+2\cdot3+3\cdot4+\ldots+2017\cdot 2018)} \)

tört értékét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1486. Adott az \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög és a \(\displaystyle k\) kör, melyeknek közös középpontja az \(\displaystyle O\) pont, területük pedig egyaránt \(\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{\sqrt{27}}}\). Legyenek az \(\displaystyle AO\), \(\displaystyle BO\), \(\displaystyle CO\) szakaszok meghosszabításainak a \(\displaystyle k\) körrel való metszéspontjai rendre az \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\), \(\displaystyle C'\) pontok. Adjuk meg az \(\displaystyle AC'BA'CB'\) hatszög területének pontos értékét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1487. Kilenc színész háromfős helyzetgyakorlatokat játszik. Legkevesebb hány gyakorlatra van szükség ahhoz, hogy bármely két színész szerepeljen közösen?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1488. Öt szakaszról tudjuk, hogy bármelyik háromból mint oldalakból valódi háromszög szerkeszthető. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott háromszögek közül legalább az egyik hegyesszögű.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1489. Egy sakktábla bal alsó sarkában áll egy sötét futó, jobb alsó sarkában pedig egy világos futó. Mindkét futó a saját színén haladva egyesével lép felfelé haladva a táblán véletlenszerűen jobbra vagy balra, míg el nem érik a felső sort. Mennyi a valószínűsége, hogy a sötét futó a világos futótól jobbra érkezik a felső sorba?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.


B. 4957. Egy pozitív egészekből álló halmazt nevezzünk tyű-de-jónak, ha a számok között nincs kettő, melyek különbsége 2. Hány tyű-de-jó részhalmaza van az \(\displaystyle \{1, 2, 3,\ldots, 10\}\) halmaznak?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4958. Egy háromszög oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), a beírt kör sugara \(\displaystyle r\), a köréírt kör sugara \(\displaystyle R\). Bizonyítsuk be, hogy ha

\(\displaystyle a+b+c =\frac{4}{rR} \quad\text{és}\quad \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} =6, \)

akkor \(\displaystyle R=2r\).

(Román versenyfeladat)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4959. Amikor Barnabás egyet bukfencezik, akkor a zsebében lévő \(\displaystyle n\) darab üveggolyó bármelyike egymástól függetlenül \(\displaystyle 0<p<1\) valószínűséggel kiesik a zsebéből. Ha egy bukfenc során legalább egy üveggolyó kiesett Barnabás zsebéből, akkor abbahagyja a bukfencezést, különben folytatja. Tudjuk, hogy miután abbahagyja Barnabás a bukfencezést, éppen 50% eséllyel van páros mennyiségű üveggolyó a zsebében. Mennyi lehetett \(\displaystyle n\) értéke?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4960. Legyen \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög belső pontja, az \(\displaystyle A^*\), \(\displaystyle B^*\) és \(\displaystyle C^*\) pontok pedig rendre az \(\displaystyle AP\), \(\displaystyle BP\) és \(\displaystyle CP\) szakaszok tetszőleges pontjai. Húzzunk párhuzamost az \(\displaystyle A^*\) ponton keresztül \(\displaystyle BP\)-vel és \(\displaystyle CP\)-vel, ezek messék az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) oldalakat rendre az \(\displaystyle A_1\) és \(\displaystyle A_2\) pontokban az ábra szerint. Hasonlóan, a \(\displaystyle B^*\)-on keresztül \(\displaystyle CP\)-vel és \(\displaystyle AP\)-vel húzott párhuzamosok a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre a \(\displaystyle B_1\) és \(\displaystyle B_2\) pontokban, míg a \(\displaystyle C^*\)-n keresztül \(\displaystyle AP\)-vel és \(\displaystyle BP\)-vel húzott párhuzamosok az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) oldalakat rendre a \(\displaystyle C_1\) és \(\displaystyle C_2\) pontokban metszik. Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle AC_1 \cdot BA_1 \cdot CB_1 = AB_2\cdot BC_2 \cdot CA_2. \)

Javasolta: Kozma József (Szeged)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4961. Három egységnyi sugarú kör metszetét az \(\displaystyle \widehat{AB}\), \(\displaystyle \widehat{AC}\) és \(\displaystyle \widehat{BC}\) körívek határolják, a metszet kerülete \(\displaystyle k\). Számítsuk ki az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) középpontú, egységnyi sugarú körök metszetének kerületét.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4962. Legyen \(\displaystyle n\) pozitív egész. Oldjuk meg az

\(\displaystyle a_1^2 + a_1 - 1 = a_2\)

\(\displaystyle a_2^2 + a_2 - 1 = a_3\)

\(\displaystyle \vdots\)

\(\displaystyle a_n^2 + a_n - 1 = a_1\)

egyenletrendszert a valós számok halmazán.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4963. Egy háromszög hozzáírt körei legnagyobbikának sugara legyen \(\displaystyle r_a\), a köré írt kör sugara pedig \(\displaystyle R\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle r_a \ge \frac32 R\).

Erdős Pál (1913–1996) feladata

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4964. Igaz-e, hogy ha az \(\displaystyle f,g\colon \mathbb{R}\to[0,1]\) függvények periodikusak, és az \(\displaystyle f+g\) függvény is periodikus, akkor van közös periódusuk?

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4965. Egy \(\displaystyle \mathbf x\ne \mathbf 0\) vektorra legyen \(\displaystyle \mathbf e_{\mathbf x}=\frac{\mathbf x} {|\mathbf x|}\). Adott a nem elfajuló \(\displaystyle ABC\) háromszög, valamint az \(\displaystyle ABC\) síkjával nem egybeeső, de azzal párhuzamos \(\displaystyle \mathcal{S}\) sík. Mutassuk meg, hogy pontosan egy olyan \(\displaystyle P\in \mathcal{S}\) pont létezik, amire az \(\displaystyle \mathbf e_{\overrightarrow {PA}}+\mathbf e_{\overrightarrow {PB}}+ \mathbf e_{\overrightarrow {PC}}\) vektor merőleges \(\displaystyle \mathcal{S}\)-re.

(6 pont)

statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.


A. 725. Legyen \(\displaystyle \mathbb{R}^+\) a pozitív valós számok halmaza. Határozzuk meg azokat az \(\displaystyle f\colon \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+\) függvényeket, melyekre minden \(\displaystyle x,y\in\mathbb{R}^+\) esetén teljesül az alábbi egyenlőség:

\(\displaystyle f\big(xy+f(y)^2\big) = f(x)f(y)+yf(y). \)

Javasolta: Ashwin Sah (Cambridge, Massachusetts, USA)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 726. Adott egy \(\displaystyle ABC\) háromszög, melynek beírt körének középpontja \(\displaystyle I\). Messe az \(\displaystyle AI\) egyenes az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körét az \(\displaystyle S\ne A\) pontban. Majd legyen az \(\displaystyle I\) pont tükörképe \(\displaystyle BC\)-re nézve \(\displaystyle J\), és tegyük fel, hogy az \(\displaystyle SJ\) egyenes az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körét a \(\displaystyle P\ne S\) pontban metszi másodjára. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle AI=PI\).

Javasolta: Mészáros József (Galánta, Szlovákia)

(5 pont)

statisztika


A. 727. Tetszőleges \(\displaystyle (x_1,\ldots,x_n)\) véges sorozatra jelölje \(\displaystyle N(x_1,\ldots,x_n)\) az olyan \(\displaystyle (i,j)\) indexpárok számát, amelyekre \(\displaystyle 1\le i<j\le n\) és \(\displaystyle x_i=x_j\).

Legyen \(\displaystyle p\) páratlan prímszám, \(\displaystyle 1\le n<p\), továbbá \(\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_n\) és \(\displaystyle b_1,b_2,\ldots,b_n\) tetszőleges modulo \(\displaystyle p\) maradékosztályok. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle 1,2,\ldots,n\) indexeknek létezik olyan \(\displaystyle \pi\) permutácója, amire

\(\displaystyle N\big(a_1+b_{\pi(1)},a_2+b_{\pi(2)},\ldots,a_n+b_{\pi(n)}\big) \le \min \big(N(a_1,a_2,\ldots,a_n), N(b_1,b_2,\ldots,b_n) \big). \)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)