A B. 5014. feladat (2019. március)

B. 5014. A Bergengóc Parlamentben a választások után \(\displaystyle 50 < n < 100\) képviselő van, mindannyian egyetlen párt, a Kék Párt színeiben. (A Kék Pártnak egyetlen elnöke van.) A házszabály alapján egy parlamenti párt két pártra osztható a következő feltételek szerint:

• A megszűnő párt elnöke nem lehet tagja az utódpártoknak, parlamenti mandátuma megszűnik, és nem választanak helyette új képviselőt (azaz a parlamenti képviselők száma csökken).
• A többi párttag eldöntheti, hogy melyik utódpártnak lesz a tagja.
• Mindkét utódpártnak legalább egy-egy képviselő tagja kell, hogy legyen.
• Mindkét utódpártnak a párt képviselői közül egy-egy pártelnököt kell választania.

Ha legalább egy pártszakadás után minden utódpártnak ugyanannyi tagja van, akkor a parlamentet feloszlatják. Mi legyen az \(\displaystyle n\) értéke, hogy ez az eset ne fordulhasson elő?

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle k\geq 1\) pártszakadás után minden pártnak ugyanannyi, \(\displaystyle 1\leq a\) tagja van, és ezért a parlament feloszlatásra kerül. Minden pártszakadásnál 1-gyel csökken a mandátumok száma, vagyis \(\displaystyle k\) pártszakadás után össesen \(\displaystyle n-k\) képviselő lesz. A pártok száma mindig 1-gyel nő, így a végén \(\displaystyle k+1\) lesz, tehát

\(\displaystyle (k+1)a=n-k,\)

amiből

\(\displaystyle (k+1)(a+1)=n+1.\)

Tehát ha a parlamentet feloszlatják, akkor \(\displaystyle n+1\) felírható két 1-nél nagyobb egész szám szorzataként, következésképpen, ha \(\displaystyle n+1\) prím, akkor ez biztosan nem fordulhat elő.

Megmutatjuk, hogy ha \(\displaystyle n+1\) nem prím, akkor viszont előfordulhat, hogy a parlamentet feloszlatják. Mivel \(\displaystyle 1<n+1\), ezért ilyenkor \(\displaystyle n+1\) összetett szám, és felírható két 1-nél nagyobb egész szám szorzataként. Legyen ez a felbontás \(\displaystyle n+1=(k+1)(a+1)\). (Ekkor tehát \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle k\) pozitív egész számok.) Megmutatjuk, hogy ilyenkor elérhető, hogy \(\displaystyle k\) pártszakadás után minden párt tagszáma \(\displaystyle a\) legyen (és így a parlament feloszlatásra kerüljön). Ezt úgy érjük el, hogy minden pártszakadásnál az egyik utódpárt mérete \(\displaystyle a\) lesz. Ekkor \(\displaystyle 0\leq i\leq k\) pártszakadás után lesz \(\displaystyle i\) darab \(\displaystyle a\) méretű párt, egy darab \(\displaystyle n-i(a+1)\) méretű (és \(\displaystyle i\) darab elveszett mandátum). Amíg \(\displaystyle i<k\), az \(\displaystyle n-i(a+1)\) méretű pártot tovább tudjuk osztani egy \(\displaystyle a\) méretűre és egy \(\displaystyle n-(i+1)(a+1)\) méretűre. Így eljárva a végén (\(\displaystyle i=k\) mellett) valóban minden párt \(\displaystyle a\) méretű lesz, hiszen \(\displaystyle n-k(a+1)=a\) teljesül \(\displaystyle n+1=(k+1)(a+1)\) miatt.

Ezzel beláttuk, hogy pontosan akkor nem fordulhat elő, hogy a parlamentet feloszlatják, ha \(\displaystyle n+1\) prímszám. Mivel \(\displaystyle n\in (50,100)\), ezért \(\displaystyle n+1\in (51,101)\). Az \(\displaystyle (51,101)\) intervallumba eső prímek:

\(\displaystyle 53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.\)

Tehát \(\displaystyle n\) értéke \(\displaystyle 52,58,60,66,70,72,78,82,88,96\) lehet.

Statisztika:

69 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Ajtai Boglárka, Apagyi Dávid, Argay Zsolt, Beke Csongor, Bukva Dávid, Csaplár Viktor, Füredi Erik Benjámin, Győrffi Ádám György, Hegedűs Dániel, Horváth 721 Balázs, Horvath Csongor, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Koleszár Domonkos, Kovács 129 Tamás, Lovas Márton, Nádor Benedek, Nagy 551 Levente, Nyitrai Boglárka, Sándor Péter, Szabó 991 Kornél, Szűcs 064 Tamás, Tálos Zoltán, Terjék András József, Tot Bagi Márton, Tóth 827 Balázs, Tóth Ábel, Tóth-Rohonyi Iván, Tubak Dániel, Zsigri Bálint.
2 pontot kapott:	34 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2019. márciusi matematika feladatai