A B. 5038. feladat (2019. szeptember)

B. 5038. Az \(\displaystyle ABCDEFGH\) szabályos nyolcszög belsejében felvettünk egy \(\displaystyle P\) pontot. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle ABP\), \(\displaystyle CDP\), \(\displaystyle EFP\) és \(\displaystyle GHP\) háromszögek területeinek összege megegyezik a \(\displaystyle BCP\), \(\displaystyle DEP\), \(\displaystyle FGP\) és \(\displaystyle HAP\) háromszögek területeinek összegével.

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle XY\) és \(\displaystyle ZT\) a szabályos nyolcszög két, egymással szemköztes oldala, akkor e két oldalszakasz egymással párhuzamos és egyenlő. Ezért a \(\displaystyle PXY\) és \(\displaystyle PZT\) háromszögek \(\displaystyle P\)-ből induló magasságvonalai egy egyenesbe esnek, és a magasságok összege egyenlő az \(\displaystyle XY\) és \(\displaystyle ZT\) oldalak \(\displaystyle m\) távolságával. Így – a nyolcszög oldalának hosszát \(\displaystyle a\)-val jelölve – a két háromszög területének összege:

\(\displaystyle t_{PXY}+t_{PZT}=\frac{am_1}{2}+\frac{am_2}{2}=\frac{am}{2}.\)

Tehát

\(\displaystyle t_{PAB}+t_{PEF}=t_{PBC}+t_{PFG}=t_{PCD}+t_{PGH}=t_{PDE}+t_{PHA}(=\frac{am}{2}), \)

amiből következik, hogy a \(\displaystyle ABP\), \(\displaystyle CDP\), \(\displaystyle EFP\) és \(\displaystyle GHP\) háromszögek területének összege, illetve a \(\displaystyle BCP\), \(\displaystyle DEP\), \(\displaystyle FGP\) és \(\displaystyle HAP\) háromszögek területének összege egyaránt \(\displaystyle {am}\).

Statisztika:

203 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	181 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai