Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5044. feladat (2019. szeptember)

B. 5044. Adott az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldalának belsejében a \(\displaystyle D\), az \(\displaystyle AC\) oldal belsejében az \(\displaystyle E\) pont; a \(\displaystyle BE\) és \(\displaystyle CD\) szakaszok metszéspontja \(\displaystyle M\). A \(\displaystyle BCM\) háromszög területe legyen \(\displaystyle x\), az \(\displaystyle EDM\) háromszög területe pedig \(\displaystyle y\). Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle T_{ABC}\ge x \frac{\sqrt x+\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}. \)

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.


1. megoldás.

Legyen \(\displaystyle p,q\in (0,1)\) úgy, hogy \(\displaystyle AD\colon DB=p\colon (1-p)\), \(\displaystyle AE\colon EC=q\colon (1-q)\), és az általánosság megszorítása nélkül tegyük fel, hogy \(\displaystyle T_{ABC}=1\). Írjuk fel az \(\displaystyle ADC\triangle\)-re és a \(\displaystyle BE\) egyenesre a Menelaosz-tételt (az irányítást figyelmen kívül hagyva):

\(\displaystyle \frac{AB}{BD}\cdot \frac{DM}{MC}\cdot \frac{CE}{EA}=1.\)

A bevezetett jelölések szerint \(\displaystyle AB \colon BD= 1\colon (1-p)\) és \(\displaystyle CE \colon EA=(1-q) \colon q\), ezekből pedig \(\displaystyle DM\colon MC=q(1-p) \colon (1-q)\) adódik, s ugyanígy kiszámítható, hogy \(\displaystyle EM\colon MA= p(1-q)\colon (1-p)\).

Vegyük észre, hogy a \(\displaystyle BCM\) és \(\displaystyle BCD\) háromszögek \(\displaystyle B\) csúcsból induló magassága közös, ezért \(\displaystyle T_{BCM}\colon T_{BCD}=CM \colon CD\); s hasonlóan a \(\displaystyle BCD\) és \(\displaystyle ABC\) háromszögek \(\displaystyle C\)-ből induló magassága közös, ezért \(\displaystyle T_{BCD}\colon T_{ABC}=BD \colon BA\). Felhasználva ezeket, a \(\displaystyle T_{ABC}=1\) feltevést, valamint a \(\displaystyle DM\colon MC=q(1-p) \colon (1-q)\) összefüggésből következő \(\displaystyle MC\colon DC = (1-q) \colon (1-pq)\) arányt kapjuk, hogy:

\(\displaystyle x=T_{BCD} \cdot \frac{MC}{DC}=T_{ABC}\cdot \frac{DB}{AB} \cdot \frac{MC}{DC}=(1-p)\cdot \frac{1-q}{1-pq}=\frac{(1-p)(1-q)}{1-pq}.\)

Másrészről bevezetve a \(\displaystyle \mu=DME\angle=CMB\angle\) jelölést:

\(\displaystyle \frac yx=\frac{2y}{2x}=\frac{ME\cdot MD \cdot \sin \mu}{MB \cdot MC \cdot \sin \mu }=\frac {DM}{MC}\cdot \frac{EM}{MB} =\frac{q(1-p)}{1-q}\cdot \frac{p(1-q)}{1-p}=pq.\)

A kapott összefüggéseket beírva, az igazolandó a következő alakot ölti:

\(\displaystyle 1\geq x \dfrac{\sqrt x+\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}= x \cdot \frac{1+\sqrt{y/x}}{1-\sqrt{y/x}}=\frac{(1-p)(1-q)}{1-pq}\cdot \frac{1+\sqrt{pq}}{1-\sqrt{pq}},\)

ahol \(\displaystyle p,q\in (0,1).\) A kapott kifejezést egyszerűsítsük \(\displaystyle (1+\sqrt{pq})\)-val, majd alkalmazzuk a \(\displaystyle p+q\geq 2\sqrt{pq}\) számtani-mértani közép egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle \frac{(1-p)(1-q)}{1-pq}\cdot \frac{1+\sqrt{pq}}{1-\sqrt{pq}}=\frac{(1-p)(1-q)}{(1-\sqrt{pq})^2}=\frac{1-p-q+pq}{1-2\sqrt{pq}+pq}\le \frac{1-2\sqrt{pq}+pq}{1-2\sqrt{pq}+pq}= 1.\)

Ezzel az állítást beláttuk. Egyenlőség pontosan akkor van, amikor a használt számtani-mértani közép egyenlőtlenségben is, azaz \(\displaystyle p=q\) esetén. A párhuzamos szelők tétele szerint ez pontosan \(\displaystyle DE\parallel BC\) esetén teljesül.

2. megoldás. Legyen \(\displaystyle P=AM\cap BC\), \(\displaystyle Q=AM\cap DE\), \(\displaystyle t=T_{ABC}\), \(\displaystyle b=T_{BMD}\) és \(\displaystyle c=T_{CME}\).

Az \(\displaystyle (AMPQ)\) négyes harmonikus, ezért

\(\displaystyle 1 = \frac{AQ}{MQ}\cdot\frac{MP}{AP} = \frac{T_{DEA}}{T_{DEM}}\cdot\frac{T_{BCM}}{T_{BCA}} = \frac{t-x-y-b-c}{y}\cdot\frac{x}{t}; \)

rendezve

\(\displaystyle (x-y) t = x(x+y+b+c). \)

(Az is látszik, hogy \(\displaystyle x>y\).)

A \(\displaystyle BCED\) négyszögben a szemközti háromszögek területének szorzata egyenlő, \(\displaystyle bc=xy\); a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenségből \(\displaystyle b+c\ge2\sqrt{bc}=2\sqrt{xy}\), ezért

\(\displaystyle t = \frac{x(x+y+b+c)}{x-y} \ge \frac{x(x+y+2\sqrt{xy})}{x-y} = \frac{x\big(\sqrt{x}+\sqrt{y}\big)^2}{\big(\sqrt{x}+\sqrt{y}\big)\big(\sqrt{x}-\sqrt{y}\big)} = \frac{x\big(\sqrt{x}+\sqrt{y}\big)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}. \)

Akkor van egyenlőség, ha \(\displaystyle b=c\), vagyis ha \(\displaystyle DE\big\|BC\).


Statisztika:

A B. 5044. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai