Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5057. feladat (2019. november)

B. 5057. Az \(\displaystyle AB\) átfogójú derékszögű háromszög \(\displaystyle BC\) befogóján vegyük fel a \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) pontokat úgy, hogy \(\displaystyle DAC\sphericalangle= EAD\sphericalangle= BAE\sphericalangle\). A \(\displaystyle C\) csúcsból az \(\displaystyle AD\) szakaszra, a \(\displaystyle D\) pontból az \(\displaystyle AB\) átfogóra bocsátott merőleges talppontjai rendre \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle K\). Az \(\displaystyle AE\) szakaszt a \(\displaystyle CK\) egyenes a \(\displaystyle H\) pontban, a \(\displaystyle H\) ponton keresztül az \(\displaystyle AD\)-vel húzott párhuzamos a \(\displaystyle BC\) szakaszt az \(\displaystyle M\) pontban metszi. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle CHM\) háromszög körülírt körének középpontja az \(\displaystyle F\) pont.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás.

Használjuk az ábra jelöléseit.

A szögharmadolás miatt \(\displaystyle KAD\angle=2\alpha/3\), így \(\displaystyle ADK\angle=90^\circ-2\alpha/3\). Az \(\displaystyle AKDC\) húrnégyszög, mivel \(\displaystyle C\)-nél és \(\displaystyle K\)-nál, két szemközti csúcsánál derékszöge van, így az \(\displaystyle AK\) szakasz látószöge a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokból megegyezik, azaz \(\displaystyle ACK\angle=ADK\angle=90^\circ-2\alpha/3\). Ebből, mivel \(\displaystyle C\angle\) is derékszög, \(\displaystyle KCB\angle=2\alpha/3\) következik. Másrészt az \(\displaystyle ADC\) derékszögű háromszögben a szögharmadolás miatt \(\displaystyle DAC\angle=\alpha/3\), ahonnan \(\displaystyle ADC\angle=90^\circ-\alpha/3\). Innen viszont a \(\displaystyle CFD\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle FCD\angle=\alpha/3\) adódik, így \(\displaystyle FC\) szögfelező a \(\displaystyle CHM\) háromszögben, \(\displaystyle FCD\angle=FCH\angle=\alpha/3\), továbbá \(\displaystyle CF\perp AD\parallel HM\) miatt \(\displaystyle HMC\) egyenlőszárú, és \(\displaystyle FC\) a \(\displaystyle HM\) oldal felező merőlegese.

Továbbá, a fentiek szerint \(\displaystyle FAH\angle=FCA\angle=\alpha/3\), így \(\displaystyle CAHF\) is húrnégyszög, és \(\displaystyle CAF\angle=FAH\angle\) miatt \(\displaystyle F\) felezi a megfelelő \(\displaystyle CH\) ívet, ebből következően illeszkedik \(\displaystyle CH\) szakaszfelező merőlegesére.

Így \(\displaystyle F\) illeszkedik \(\displaystyle CHM\) két oldalfelező merőlegesére, azaz valóban \(\displaystyle CHM\) körülírt körének középpontja.


Statisztika:

A B. 5057. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai