Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5058. feladat (2019. november)

B. 5058. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög belsejében vegyünk fel egy tetszőleges \(\displaystyle P\) pontot. Az \(\displaystyle AP\), \(\displaystyle BP\) és \(\displaystyle CP\) egyenesek a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle AC\), illetve \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\) és \(\displaystyle C_1\) pontokban metszik. Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle \frac{AP}{A_1P}\cdot\frac{BP}{B_1P}\cdot\frac{CP}{C_1P}\ge 8. \)

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A \(\displaystyle PBC\), \(\displaystyle PCA\), \(\displaystyle PBA\) háromszögek területe legyen rendre \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), illetve \(\displaystyle c\). Az \(\displaystyle ABC\) és a \(\displaystyle PBC\) háromszög \(\displaystyle BC\) oldala közös, az ehhez tartozó magasságok párhuzamosak, arányuk a párhuzamos szelők tétele miatt \(\displaystyle A_1A:A_1P\). Ezért

\(\displaystyle \frac{A_1A}{A_1P} = \frac{T_{ABC}}{T_{PBC}}. \)

Figyelembe véve, hogy \(\displaystyle A_1A=A_1P+AP\), \(\displaystyle T_{PBC}=a\) és \(\displaystyle T_{ABC}=a+b+c\),

\(\displaystyle \frac{A_1P+AP}{A_1P} = \frac{a+b+c}{a}; \)

mindkét oldalból \(\displaystyle 1\)-et kivonva

\(\displaystyle \frac{AP}{A_1P} = \frac{b+c}{a}. \)

A betűzés ciklikus cseréjével, ugyanígy kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{BP}{B_1P} = \frac{c+a}{b} \quad\text{és}\quad \frac{CP}{C_1P} = \frac{a+b}{c}. \)

A kapott azonosságokat behelyettesítve, a feladat állítása a következő egyenlőtlenséggel ekvivalens:

\(\displaystyle \frac{b+c}{a} \cdot \frac{c+a}{b} \cdot \frac{a+b}{c} \ge 8. \)\(\displaystyle (1) \)

Az (1) egyenlőtlenséget úgy igazoljuk, hogy a baloldalon mindhárom tört számlálóját alulról becsüljük a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséggel:

\(\displaystyle \frac{b+c}{a} \cdot \frac{c+a}{b} \cdot \frac{a+b}{c} \ge \frac{2\sqrt{bc}}{a} \cdot \frac{2\sqrt{ca}}{b} \cdot \frac{2\sqrt{ab}}{c} = 8. \)

A becslésünkben akkor áll egyenlőség, ha mindhárom esetben egymással egyenlő számok közepeit hasonlítjuk össze, vagyis ha \(\displaystyle a=b=c\). Szintén a területek arányaiból látjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{T_{PBC}}{T_{PCA}} = \frac{BC_1}{C_1A}; \)

az \(\displaystyle a=b\) feltétel tehát akkor teljesül, ha \(\displaystyle C_1\) az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontja. Ugyanígy, \(\displaystyle a=c\) és \(\displaystyle b=c\) akkor teljesül, ha \(\displaystyle B_1\) az \(\displaystyle AC\), illetve ha \(\displaystyle A_1\) a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontja. A feladat állításában tehát akkor áll egyenlőség, ha \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontja.


Statisztika:

A B. 5058. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai