Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5059. feladat (2019. november)

B. 5059. Legyen valamely pozitív egész \(\displaystyle c\)-re \(\displaystyle \{ a_n\}\) a következő, rekurzív módon definiált sorozat: \(\displaystyle a_0=c\) és \(\displaystyle a_{n+1} = \big[ a_{n} + \sqrt{a_{n}}\,\big]\), ha \(\displaystyle n \ge 0\). Bizonyítsuk be, hogy ha a sorozat tagja a \(\displaystyle 2019\), akkor a korábbi tagok között nincs négyzetszám, de a későbbi tagok között végtelen sok négyzetszám fordul elő.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen \(\displaystyle b_n=\big[\sqrt{a_n}\big]\), ekkor tehát \(\displaystyle b_n^2\le a_n\le b_n^2+2b_n\), és a rekurziót az \(\displaystyle a_{n+1}=a_n+b_n\) alakba is írhatjuk. Legyen továbbá \(\displaystyle r_n\) a legkisebb pozitív egész, amelyre \(\displaystyle a_n\equiv r_n\pmod{b_n}\), végül legyen \(\displaystyle s_n=b_n+r_n\). Ennek a négy sorozatnak a viselkedését fogjuk egyszerre vizsgálni.

1. eset: \(\displaystyle a_{n+1}=(b_n+1)^2\), vagyis \(\displaystyle a_n=b_n^2+b_n+1\). Ebben az esetben \(\displaystyle r_n=1\), emiatt \(\displaystyle a_{n+1}=s_n^2\), \(\displaystyle b_{n+1}=r_{n+1}=b_n+1\) és \(\displaystyle s_{n+1}=2b_n+2=2s_n\).

2. eset: \(\displaystyle a_{n+1}<(b_n+1)^2\), vagyis \(\displaystyle a_n\le b_n^2+b_n\). Ilyenkor \(\displaystyle b_n^2\le a_n<a_{n+1}<(b_n+1)^2\), tehát az \(\displaystyle a_{n+1}\) nem négyzetszám, \(\displaystyle b_{n+1}=b_n\), \(\displaystyle r_{n+1}=r_n\) és \(\displaystyle s_{n+1}=s_n\).

3. eset: \(\displaystyle a_{n+1}>(b_n+1)^2\), vagyis \(\displaystyle b_n^2+b_n+1> a_n\le b_n^2+2b_n\). Ebben az esetben \(\displaystyle r_n>1\), \(\displaystyle a_n=b_n^2+b_n+r_n\), \(\displaystyle (b_n+1)^2<a_{n+1}=(b_n+1)^2+r_n-1<(b_n+2)^2\), tehát \(\displaystyle a_{n+1}\) nem négyzetszám, \(\displaystyle b_{n+1}=b_n+1\), \(\displaystyle r_{n+1}=r_n-1\) és \(\displaystyle s_{n+1}=s_n\).

A három esetet összefoglalva,

1. eset \(\displaystyle a_{n+1}=s_n^2\), négyzetszám \(\displaystyle b_{n+1}=b_n+1\) \(\displaystyle r_n=b_n+1\) \(\displaystyle s_{n+1}=2s_n\) (duplázódik)
2. eset \(\displaystyle a_{n+1}\) nem négyzetszám \(\displaystyle b_{n+1}=b_n\) \(\displaystyle r_{n+1}=r_n\) \(\displaystyle s_{n+1}=s_n\) (nem változik)
3. eset \(\displaystyle a_{n+1}\) nem négyzetszám \(\displaystyle b_{n+1}=b_n+1\) \(\displaystyle r_{n+1}=r_n-1\) \(\displaystyle s_{n+1}=s_n\) (nem változik)

Az világos, hogy az \(\displaystyle a_n\) sorozat mindig egy pozitív egésszel nő, emiatt nem lehet korlátos, és így a \(\displaystyle b_n\) és \(\displaystyle s_n\) sorozat sem lehet korlátos. Az \(\displaystyle s_n\) sorozat végtelen sokszor duplázódik; mindig akkor, amikor \(\displaystyle a_{n+1}\) négyzetszám, és éppen \(\displaystyle a_{n+1}=s_n^2\). Ez igazolja, hogy az \(\displaystyle a_n\) sorozatban végtelen sok négyzetszám van. Sőt, azt is látjuk, hogy bármely \(\displaystyle a_n\) elem után a következő négyzetszám az \(\displaystyle s_n^2\).

Amikor \(\displaystyle a_n=2019\), akkor \(\displaystyle b_n=44\), \(\displaystyle r_n=39\) és \(\displaystyle s_n=83\) páratlan szám; ez korábban nem duplázódhatott, tehát a \(\displaystyle 2019\) előtt biztosan nem lehet négyzetszám a sorozatban. Az az \(\displaystyle a_n\) sorozatban szereplő négyzetszámok a \(\displaystyle (2^k\cdot83)^2\) alakú számok, \(\displaystyle k=0,1,2,\ldots\)


Statisztika:

A B. 5059. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai