Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5082. feladat (2020. február)

B. 5082. Igazoljuk, hogy tetszőleges háromszögben a magasságok mértani, számtani és négyzetes közepe rendre nem nagyobb a hozzáírt körök sugarainak a mértani, számtani, illetve négyzetes közepénél.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A megoldás során az \(\displaystyle a,b\) tagok négyzetes, számtani, mértani, illetve harmonikus közepeit rendre \(\displaystyle N(a;b), S(a;b), M(a;b)\), illetve \(\displaystyle H(a;b)\) fogják jelölni.

Legyen \(\displaystyle s=\dfrac{a+b+c}{2}\) a háromszög félkerülete; \(\displaystyle r_a,r_b,r_c\) a hozzáírható körök sugara és \(\displaystyle m_a,m_b,m_c\) a megfelelő magasságok.

A háromszög területének kétszeresét írjuk fel a következő ismert képletekkel:

\(\displaystyle 2T=am_a=bm_b=cm_c=2r_a(s-a)=2r_b(s-b)=2r_c(s-c).\)

Bebizonyítjuk a következő lemmát:

\(\displaystyle N (r_a;r_b) \geq S(r_a;r_b) \geq M(r_a;r_b) \geq H(r_a;r_b)=m_c.\)

A területképletek miatt: \(\displaystyle H(r_a;r_b)=\dfrac{2}{\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}}=\dfrac{2}{\frac{s-a}{T}+\frac{s-b}{T}}=\dfrac{2}{\frac{2s-a-b}{T}}=\dfrac{2}{\frac{c}{T}}=\dfrac{2T}{c}=m_c\) azaz \(\displaystyle H(r_a;r_b) = m_c\) valóban teljesül. A lemma többi állítása a nevezetes közepek közötti egyenlőtlenség miatt igaz, és bármelyik egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle r_a=r_b\).

Az \(\displaystyle m_b, m_a\) magasságokra triviálisan teljesülnek az analóg egyenlőtlenségek.

a) Nézzük először a magasságok és a hozzáírt körök sugarainak mértani közepei közötti egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle m_c \leq M(r_a;r_b); \: m_b \leq M(r_a;r_c); \: \text{és } m_a \leq M(r_b;r_c)\) miatt adódik:

\(\displaystyle m_a m_b m_c \leq \sqrt{r_b r_c} \cdot \sqrt{r_a r_c} \cdot \sqrt{r_a r_b} = \sqrt{r^2_a r^2_b r^2_c}=r_a r_b r_c.\)

Köbgyököt vonva éppen a (mértani közepekre megfogalmazott) bizonyítandó állítás adódik. Az egyenlőség a két oldal között pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle r_a=r_b=r_c\), azaz a háromszög szabályos.

b) Nézzük másodjára a számtani közepek közötti egyenlőtlenséget:

A lemmánk miatt: \(\displaystyle S(r_a;r_b) = \dfrac{r_a+r_b}{2} \geq m_c ; \: \dfrac{r_a+r_c}{2} \geq m_b ; \: \text{és } \dfrac{r_b+r_c}{2} \geq m_a\).

A kapott egyenlőtlenségeket összeadva és osztva hárommal éppen a bizonyítandó \(\displaystyle S(r_a;r_b;r_c) \geq S(m_a;m_b;m_c)\) állítás adódik. Az egyenlőség itt is pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle r_a=r_b=r_c\), azaz a háromszög szabályos.

c) Végül nézzük a négyzetes közepek közötti egyenlőtlenséget:

Mivel a lemmánk alapján \(\displaystyle m_a \leq N(r_a;r_b)=\sqrt{\dfrac{r_b^2+r_c^2}{2}}; \: m_b \leq \sqrt{\dfrac{r_a^2+r_c^2}{2}}; \: \text{és } m_c \leq \sqrt{\dfrac{r_a^2+r_b^2}{2}}\), az egyenlőtlenségeket négyzetre emelve és összegezve adódik:

\(\displaystyle m_a^2 + m_b^2+m_c^2 \leq \dfrac{r_b^2+r_c^2}{2} + \dfrac{r_a^2+r_c^2}{2} + \dfrac{r_a^2+r_b^2}{2} = r_a^2 + r_b^2 + r_c^2.\)

Az egyenlőtlenséget hárommal osztva és gyököt vonva éppen a megfelelő (négyzetes közepek közötti) egyenlőtlenséget kapjuk. Az egyenlőség itt is pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle r_a=r_b=r_c\), azaz a háromszög szabályos.

Ezzel a feladat valamennyi részét beláttuk.


Statisztika:

A B. 5082. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. februári matematika feladatai