Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5083. feladat (2020. február)

B. 5083. Van-e olyan 100-adfokú valós együtthatós \(\displaystyle p(x)\) polinom, melyre a \(\displaystyle p\big(p(x)\big)\) polinomnak 10000 különböző valós gyöke van?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.


1. megoldás. Megmutatjuk, hogy van ilyen polinom, például a

\(\displaystyle p(x)=(x-1)(x-2)\dots(x-100)\)

polinom megfelelő. Világos, hogy ez egy 100-adfokú valós együtthatós polinom, melynek 100 gyöke van: \(\displaystyle 1,2,\dots,100\). A \(\displaystyle p(p(x))\) polinomnak tehát pontosan azon \(\displaystyle x\) számok a gyökei, melyekre \(\displaystyle p(x)\in \{1,2,\dots,100\}\). Mivel bármely \(\displaystyle c\in \{1,2,\dots,100\}\) esetén a \(\displaystyle p(x)-c\) polinom 100-adfokú, ezért csak úgy kaphatunk \(\displaystyle 10\,000\) különböző valós gyököt, ha \(\displaystyle p(x)\) az \(\displaystyle 1,2,\dots,100\) értékek mindegyikét 100-szor veszi fel. A \(\displaystyle p\) polinom a gyökeinél vált előjelet, így \(\displaystyle p(x)\) pontosan akkor pozitív, ha \(\displaystyle x\in (-\infty,1)\cup(2,3)\cup (4,5)\cup\dots\cup (98,99)\cup(100,\infty)\).

Mivel \(\displaystyle \lim\limits_{x\to -\infty}p(x)=\lim\limits_{x\to \infty}p(x)=\infty\), ezért a \(\displaystyle (-\infty,1)\) és \(\displaystyle (100,\infty)\) intervallumokon az \(\displaystyle 1,2,\dots,100\) értékek mindegyikét felveszi \(\displaystyle p\) (valójában pontosan egyszer, hiszen ezeken az intervallumokon \(\displaystyle p\) monoton).

Megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle (2,3),(4,5),\dots,(98,99)\) intervallumok (ez összesen 49 darab intervallum) mindegyikében kétszer veszi fel az \(\displaystyle 1,2,\dots,100\) értékek mindegyikét. (Ebből már következik, hogy valóban mind a 100 értékét 100-szor felveszi.) Ehhez elég megmutatni, hogy mind a 49 intervallumon belül a lokális maximum értéke 100-nál nagyobb. (Mivel az intervallumok végpontjaiban a függvény értéke 0, a folytonosság miatt minden pozitív, de a lokális maximumnál kisebb értéket kétszer is felvesz az intervallumon belül. (Valójában a polinom függvényvizsgálatával megállapítható, hogy ezeket pontosan kétszer veszi fel, a lokális maximumot pedig egyszer, de a megoldásban ezt nem használjuk ki.)

Legyen tehát \(\displaystyle i\in \{2,4,\dots,98\}\) és tekintsük az \(\displaystyle (i,i+1)\) intervallumot. Helyettesítsünk be a \(\displaystyle p(x)\) polinomba \(\displaystyle x=i+1/2\)-et:

\(\displaystyle p(i+1/2)=(i-1/2)(i-3/2)\dots(i-199/2).\)

Már megállapítottuk, hogy ez egy pozitív szorzat, most vizsgáljuk az abszolút értékét. A tényezők között kettő olyan van, melynek abszolút értéke 1 alatti: \(\displaystyle |i+1/2-i|=|i+1/2-(i+1)|=1/2\). Ha \(\displaystyle i\in \{2,4,\dots,48\}\), akkor

\(\displaystyle |i+1/2-99|\cdot |i+1/2-100|\geq 50,5\cdot 51,5,\)

így a teljes szorzat legalább \(\displaystyle 0,5\cdot 0,5\cdot 50,5\cdot 51,5>100\). Ehhez hasonlóan, ha \(\displaystyle i\in \{50,52,\dots,98\}\), akkor

\(\displaystyle |i+1/2-1|\cdot |i+1/2-2|\geq 49,5\cdot 48,5,\)

így a teljes szorzat ekkor is nagyobb, mint 100.

Ezzel megmutattuk, hogy mind a 49 intervallumban 100-nál nagyobb a lokális maximum, amiből a fentitek alapján következik, hogy \(\displaystyle p(x)\) az \(\displaystyle 1,2,\dots,100\) értékek mindegyikét 100-szor veszi fel, és így a \(\displaystyle p(p(x))\) polinomnak \(\displaystyle 100\cdot 100=10\,000\) gyöke van.

Tehát valóban létezik a feltételeknek megfelelő polinom.

2. megoldás. Megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle T_{100}(x)\) polinom ilyen, ahol \(\displaystyle T_{n}(x)\) az \(\displaystyle n\)-edik elsőfajú Csebisev polinom: az az \(\displaystyle n\)-edfokú polinom, amelyre bármely \(\displaystyle \alpha\) esetén \(\displaystyle T_{n}(\cos\alpha)=\cos(n\alpha)\). Erre a polinomra

\(\displaystyle T_{100}(T_{100}(\cos\alpha)) = T_{100}(\cos(100\alpha)) = \cos(10\,000\alpha), \)

vagyis

\(\displaystyle T_{100}(T_{100}(x))=T_{10\,000}(x). \)

A \(\displaystyle T_{10\,000}(x)\) polinomnak \(\displaystyle 10\,000\) különböző valós gyöke van: a \(\displaystyle \cos{\frac{(2k-1)\pi}{20\,000}}\) alakú számok \(\displaystyle (k=1,2,\ldots,10\,000)\).


Statisztika:

A B. 5083. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. februári matematika feladatai