Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5128. feladat (2020. november)

B. 5128. Adjuk meg az összes olyan \(\displaystyle (x,y)\) relatív prím egészekből álló számpárt, amelyre \(\displaystyle x^2 + x = y^3 + y^2\).

Javasolta: Surányi László (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az egyenlet \(\displaystyle x(x+1)=y^2(y+1)\) alakban is írható, amiből leolvasható, hogy \(\displaystyle y^2\mid x(x+1)\). Mivel \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) relatív prímek, ezért ebből \(\displaystyle y^2\mid x+1\) is következik. Legyen \(\displaystyle k\) az az egész szám, amire \(\displaystyle x+1=ky^2\). Az egyenletbe ezt behelyettesítve:

\(\displaystyle (ky^2-1)ky^2=y^2(y+1).\)

Ha \(\displaystyle y=0\), akkor az egyenlet teljesül, ekkor \(\displaystyle x=ky^2-1=-1\), ami relatív prím a 0-hoz, így a \(\displaystyle (-1,0)\) pár megoldás. A továbbiakban feltesszük, hogy \(\displaystyle y\ne 0\), ekkor ekvivalens lépés az \(\displaystyle y^2\)-tel való osztás:

\(\displaystyle (ky^2-1)k=y+1,\)

\(\displaystyle k^2y^2=k+y+1.\)

Ha \(\displaystyle k=0\), akkor \(\displaystyle y=-1\) kell legyen, ekkor \(\displaystyle x=ky^2-1=-1\), a relatív prímségi feltétel teljesül, a \(\displaystyle (-1,-1)\) megoldást kapjuk. A továbbiakban feltesszük, hogy \(\displaystyle k\ne 0\), ekkor ekvivalens lépés a \(\displaystyle k^2y^2\)-tel való osztás:

\(\displaystyle 1=\frac{1}{ky^2}+\frac{1}{k^2y}+\frac{1}{k^2y^2}.\)

Ha \(\displaystyle |ky|\geq 3\), akkor \(\displaystyle \frac{1}{ky^2}+\frac{1}{k^2y}+\frac{1}{k^2y^2}\leq \frac13+\frac13+\frac19<1\), így az egyenlet nem teljesülhet. Tehát \(\displaystyle ky\ne 0\) miatt \(\displaystyle |ky|\) értéke csak 1 vagy 2 lehet, ezt a két esetet külön megvizsgáljuk.

Ha \(\displaystyle |ky|=1\), akkor visszatérve a \(\displaystyle k^2y^2=k+y+1\) alakhoz látható, hogy az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle k+y=0\). Tehát vagy \(\displaystyle k=1,y=-1\) vagy \(\displaystyle k=-1,y=1\). Ezekből rendre az \(\displaystyle (x,y)=(0,-1)\), illetve \(\displaystyle (x,y)=(-2,1)\) megoldásokat kapjuk. (A relatív prímségi feltétel is teljesül mindkét esetben.)

Végül, ha \(\displaystyle |ky|=2\), akkor a \(\displaystyle k^2y^2=k+y+1\) alakból \(\displaystyle 3=k+y\) egyenlet adódik, vagyis vagy \(\displaystyle k=1,y=2\) vagy \(\displaystyle k=2,y=1\). Ezekből rendre az \(\displaystyle (x,y)=(3,2)\), illetve \(\displaystyle (x,y)=(1,1)\) megoldásokat kapjuk. (A relatív prímségi feltétel is teljesül mindkét esetben.)

Az egyenletnek tehát hat megoldása van, éspedig a következők:

\(\displaystyle (-1,0); (-1,-1); (0,-1); (-2,1); (3,2); (1,1).\)


Statisztika:

A B. 5128. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai