Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5130. feladat (2020. november)

B. 5130. Adott a síkban \(\displaystyle n\) pont úgy, hogy bármely \(\displaystyle k\) (\(\displaystyle k\ge 2\)) darabból kiválasztható kettő, amelyek távolsága legfeljebb egységnyi. Mutassuk meg, hogy a pontok lefedhetők \(\displaystyle k-1\) darab egységnyi sugarú körlappal.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Válasszunk ki egy tetszőleges \(\displaystyle P_1\) pontot a megadottak közül, és legyen ő a \(\displaystyle K_1\) egységkör középpontja. Hasonlóan, egy \(\displaystyle K_1\)-en kívül eső \(\displaystyle P_2\) pont legyen a \(\displaystyle K_2\) egységkör középpontja, egy \(\displaystyle K_1\)-en és \(\displaystyle K_2\) is kívül eső \(\displaystyle P_3\) pont a \(\displaystyle K_3\) egységkör középpontja, és így tovább. Az így adódó \(\displaystyle K_1\), \(\displaystyle K_2\), \(\displaystyle K_3\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle K_{\ell}\) egységkörök (\(\displaystyle \ell \leqslant n\)) nyilván lefedik a megadott pontokat. Másrészt \(\displaystyle \ell \leqslant k-1\), hiszen \(\displaystyle \ell \geqslant k\) esetén a \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle P_k\) pontok olyan \(\displaystyle k\)-ast alkotnának a megadott \(\displaystyle n\) pontból, amelyekben bármely kettőnek a távolsága 1-nél nagyobb, így nem teljesülne a feladat feltétele.


Statisztika:

A B. 5130. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai