Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5135. feladat (2020. december)

B. 5135. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) csúcsaiból húzott magasságok talppontjai rendre \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\) és \(\displaystyle C_1\); az \(\displaystyle AA_1\) és \(\displaystyle BB_1\) magasságok felezőpontjai pedig rendre \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\). Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle C_1GH\) háromszög körülírt köre áthalad az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle F\) felezőpontján.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit, legyen \(\displaystyle M\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontja. Megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle MF\) szakasz a \(\displaystyle C_1\), \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\) pontok mindegyikéből derékszög alatt látszik, ebből az állítás a Thalész-tétel megfordítása segítségével azonnal következik.

Mivel \(\displaystyle M\) illeszkedik a \(\displaystyle CC_1\) szakaszra, és \(\displaystyle CC_1\perp AB\), így \(\displaystyle MC_1F\angle\) valóban derékszög.

Az \(\displaystyle ABA_1\) háromszögben \(\displaystyle FG\) a \(\displaystyle BA_1\) befogóval párhuzamos középvonal, így \(\displaystyle FG\perp AA_1\), tehát \(\displaystyle FGM\angle\) derékszög. Hasonlóan, az \(\displaystyle ABB_1\) háromszögben \(\displaystyle FH\) az \(\displaystyle AB_1\) befogóval párhuzamos középvonal, ami miatt \(\displaystyle FH\perp BB_1\), s így \(\displaystyle FHM\angle\) is derékszög. Ezzel az állítást beláttuk.

Diszkusszió: a \(\displaystyle C_1GH\) kör jól definiált, nyilvánvalóan \(\displaystyle G\neq C_1\neq H\) (hiszen \(\displaystyle ABC\triangle\) hegyesszögű); míg \(\displaystyle G=H\) esetén az \(\displaystyle ABA_1B_1\) négyszög átlói felezve metszenék egymást, azaz a négyszög paralelogramma lenne, s az \(\displaystyle ABC\) háromszögnek lenne két párhuzamos oldala. A \(\displaystyle C_1,G,H\) pontok tehát páronként különböznek. Továbbá \(\displaystyle FG\parallel BA_1=BC\) és \(\displaystyle FH\parallel AB_1=AC\) miatt a három pont nem eshet egy egyenesre.

A \(\displaystyle C_1=F\), \(\displaystyle G=M\) és \(\displaystyle H=M\) esetekben a bizonyításban használt szögek esetleg nem jönnek létre, de a \(\displaystyle C_1\), \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\) pontok ilyenkor is nyilvánvalóan illeszkednek az \(\displaystyle MF\) szakasz Thalész-körére.


Statisztika:

A B. 5135. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai