Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5169. feladat (2021. április)

B. 5169. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán:

\(\displaystyle \sqrt[3]{2x+11}+\sqrt[3]{3x+4}=\sqrt[3]{x+9}+\sqrt[3]{4x+6}. \)

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az egyenlet minden valós \(\displaystyle x\)-re értelmes.

Legyen

\(\displaystyle a:=\root 3\of {2x+11},\quad b:=\root 3\of {3x+4}, \quad c:=\root 3\of {x+9},\quad d:=\root 3\of {4x+6}.\)

A feltétel alapján

\(\displaystyle a+b=c+d, \)\(\displaystyle {(*)}\)

ugyanakkor könnyen észrevehető, hogy

\(\displaystyle a^3+b^3=c^3+d^3(=5x+15) \)\(\displaystyle {(**)}\)

is teljesül.

Először vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor

\(\displaystyle a+b=c+d=0.\)

Ekkor \(\displaystyle b=-a\), és így \(\displaystyle b^3=-a^3\), azaz \(\displaystyle 3x+4=-(2x+11)\), amiből \(\displaystyle x=-3\). Az eredeti egyenletbe behelyettesítve:

\(\displaystyle \root 3\of 5+\root 3\of {-5}=\root 3\of 6+\root 3\of {-6},\)

ami valóban teljesül, mindkét oldal értéke 0.

Most tegyük fel, hogy \(\displaystyle a+b=c+d\ne 0\). Ekkor \(\displaystyle (*)\) és \(\displaystyle (**)\) egyenleteket elosztva egymással kapjuk, hogy

\(\displaystyle a^2-ab+b^2=\frac{a^3+b^3}{a+b}=\frac{c^3+d^3}{c+d}=c^2-cd+d^2.\)

Ekkor viszont

\(\displaystyle (a+b)^2-3ab=a^2-ab+b^2=c^2-cd+d^2=(c+d)^2-3cd\)

és

\(\displaystyle a+b=c+d\)

alapján \(\displaystyle ab = cd\).

Tehát \(\displaystyle a,b\), illetve \(\displaystyle c,d\) egyaránt a \(\displaystyle z^2-(a+b)z+ab=z^2-(c+d)z+cd\) polinom két gyöke, ezért \(\displaystyle a=c\) és \(\displaystyle b=d\) vagy \(\displaystyle a=d\) és \(\displaystyle b=c\).

Az előbbi esetben \(\displaystyle a^3=c^3\), vagyis \(\displaystyle 2x+11=x+9\), amiből \(\displaystyle x=-2\). Ez valóban megoldást ad, hiszen

\(\displaystyle \root 3\of 7+\root 3\of {-2}=\root 3\of 7+\root 3\of {-2}.\)

Az utóbbi esetben \(\displaystyle a^3=d^3\), vagyis \(\displaystyle 2x+11=4x+6\), amiből \(\displaystyle x=5/2\).

Ez is megoldást ad, hiszen

\(\displaystyle \root 3\of {16}+\root 3\of {23/2}=\root 3\of {23/2}+\root 3\of {16}.\)

Tehát az egyenletnek három megoldása van: \(\displaystyle x=-3\), \(\displaystyle x=-2\) és \(\displaystyle x=5/2\).


Statisztika:

80 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:56 versenyző.
4 pontot kapott:4 versenyző.
3 pontot kapott:9 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:1 dolgozat.

A KöMaL 2021. áprilisi matematika feladatai