A B. 5197. feladat (2021. október)

B. 5197. Jelölje $\displaystyle \mathbb{N}$ a nemnegatív egész számok halmazát, és legyen $\displaystyle k$ adott pozitív egész. Van-e olyan monoton növő $\displaystyle f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ függvény, amelyre

$\displaystyle f\big(f(x)\big) = f(x) + x + k$

minden $\displaystyle x \in \mathbb{N}$ esetén?

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mutatunk egy, a feltételnek megfelelő függvényt; ehhez felhasználjuk a B. 3429. feladat ötleteit.

A $\displaystyle f(x)$ függvényt egy valós értékű lineáris függvény egész értékekre kerekítésével fogjuk megkonstruálni.

Legyen $\displaystyle q=\dfrac{1+\sqrt5}2\approx1,618$ a $\displaystyle q^2=q+1$ egyenlet pozitív megoldása, továbbá legyen $\displaystyle d=\dfrac{k}{q}$. Bármely pozitív egész $\displaystyle x$ esetén legyen $\displaystyle f(x)$ az az egész szám, amely a $\displaystyle \big[qx+d-\tfrac12,qx+d+\tfrac12\big)$ intervallumba esik.

Mivel $\displaystyle qx+d-\tfrac12>q+0-\tfrac12>0$, az $\displaystyle f(x)$ érték pozitív egész, tehát $\displaystyle f$ valóban egy $\displaystyle \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ függvény (és mivel $\displaystyle q > 1$, szigorúan monoton növő).

Az $\displaystyle f(x)$ definíciója szerint

Ugyanezt $\displaystyle x$ helyett $\displaystyle f(x)$-szel felírva,

Adjuk össze (2)-t és (1) $\displaystyle (q-1)$-szeresét:

Az $\displaystyle f(f(x))-f(x)-x-k$ egy egész szám, és mint láttuk, $\displaystyle -\tfrac{q}{2}\approx-0,809$ és $\displaystyle \tfrac{q}{2}\approx0,809$ közé esik. Ez az egész szám csak a $\displaystyle 0$ lehet, tehát $\displaystyle f(f(x))-f(x)-x-k=0$, vagyis

$\displaystyle f(f(x)) = f(x)+x+k.$

Statisztika:

39 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bencsik Dávid, Bényei Borisz, Berkó Sebestyén , Bognár 171 András Károly, Kalocsai Zoltán, Kercsó-Molnár Anita, Lovas Márton, Mohay Lili Veronika, Nádor Benedek, Németh Márton, Romaniuc Albert-Iulian, Sebestyén József Tas, Sztranyák Gabriella, Varga Boldizsár, Zömbik Barnabás.
5 pontot kapott:	Seláf Bence, Török Ágoston.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.

A KöMaL 2021. októberi matematika feladatai