Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5274. feladat (2022. november)

B. 5274. Az \(\displaystyle a<b\) pozitív egészek szorzata négyzetszám. Mutassuk meg, hogy van olyan \(\displaystyle x\) pozitív egész, amelyre \(\displaystyle a\le x^2\le b\).

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. december 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen \(\displaystyle d\) az \(\displaystyle a\) szám négyzetmentes része, vagyis azoknak a prímeknek a szorzata, melyek \(\displaystyle a\) prímtényezős felbontásában páratlan kitevővel szerepelnek. Így egyrészt \(\displaystyle a/d\) négyzetszám, legyen \(\displaystyle a=dA^2\) (ahol \(\displaystyle A\) pozitív egész), másrészt mivel \(\displaystyle ab\) négyzetszám, ezért \(\displaystyle b\) négyzetmentes része szintén \(\displaystyle d\), vagyis \(\displaystyle b=dB^2\) alakú (ahol \(\displaystyle B\) pozitív egész).

Ha az \(\displaystyle [a,b]\) zárt intervallumba a feladat állításával ellentétben nem esne négyzetszám, akkor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) két szomszédos négyzetszám közé esne, vagyis valamely \(\displaystyle n\) pozitív egész számra

\(\displaystyle n^2<a<b<(n+1)^2\)

lenne. Ekkor azonban

\(\displaystyle \frac{(n+1)^2}{n^2}>\frac{b}{a}=\frac{dB^2}{dA^2}=\frac{B^2}{A^2} \)

következne, amiből

\(\displaystyle \frac{n+1}{n}>\frac{B}{A}.\)

Azonban

\(\displaystyle 1+\frac1n=\frac{n+1}{n}>\frac{B}{A}\geq 1+\frac{1}{A}\)

alapján kapnánk, hogy \(\displaystyle n<A\), viszont \(\displaystyle dA^2=a<(n+1)^2\) miatt \(\displaystyle A<n+1\), vagyis ellentmondáshoz jutottunk. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Megjegyzés. A megoldás második fele kicsit másképpen:
Elegendő megmutatni, hogy \(\displaystyle [\sqrt a]<[\sqrt{b}]\), ugyanis ekkor \(\displaystyle x=[\sqrt{b}]\) választással \(\displaystyle a\leq x^2\leq b\), hiszen \(\displaystyle \sqrt{a}<[\sqrt{b}]=x\).

Felhasználva, hogy \(\displaystyle a=dA^2,b=dB^2\) kapjuk, hogy

\(\displaystyle \sqrt{b}-\sqrt{a}=\sqrt{dB^2}-\sqrt{dA^2}=\sqrt{d}(B-A)\geq 1,\)

hiszen \(\displaystyle d,A,B\) pozitív egészekre \(\displaystyle A<B\). Így készen vagyunk, hiszen \(\displaystyle \sqrt{b}-\sqrt{a}\geq 1\) alapján valóban \(\displaystyle [\sqrt{a}]<[\sqrt{b}]\).


Statisztika:

101 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:58 versenyző.
4 pontot kapott:2 versenyző.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:16 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2022. novemberi matematika feladatai