 |
A B. 5300. feladat (2023. február) |
B. 5300. Legyen \(\displaystyle T\) egységnyi élhosszúságú szabályos tetraéder. Írjunk \(\displaystyle T\)-be egy kockát úgy, hogy \(\displaystyle T\) minden lapjára a kockának pontosan két csúcsa illeszkedjen az ábra szerint (a szaggatott vonalak párhuzamosak a tetraéder megfelelő éleivel). Mekkora a kocka térfogata?
Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A könnyebb érthetőség érdekében helyezzük el a tetraédert egy nagy kockában a szokásos módon, és használjuk az ábra jelöléseit. A tetraéder csúcsai legyenek \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\); a beírt kocka \(\displaystyle KLMNSTUV\) úgy, hogy az \(\displaystyle UV\), \(\displaystyle ST\), \(\displaystyle LM\) és \(\displaystyle KN\) élek rendre az \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle ABD\), \(\displaystyle ACD\) és \(\displaystyle BCD\) lapokra illeszkednek, továbbá az \(\displaystyle UV\) egyenes az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) éleket az \(\displaystyle A_C\) és \(\displaystyle B_C\) pontokban metszi, stb.
Legyen
\(\displaystyle AA_C=AA_D=BB_C=BB_D=CC_A=CC_B=DD_A=DD_B=x;\)
ekkor
\(\displaystyle A_CC_A=A_DD_A=B_DD_B=B_CC_B=1-2x.\)
Jelölje a beírt kocka élhosszát \(\displaystyle a\); valamint vegyük észre, hogy a befoglaló kocka élhossza \(\displaystyle 1/\sqrt 2\). A következőkben kifejezzük \(\displaystyle a\)-t az \(\displaystyle x\) segítségével kétféleképpen.
Először is vegyük észre, hogy az \(\displaystyle STUV\) és \(\displaystyle KLMN\) lapok párhuzamosak egymással, valamint az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) kitérő élekkel, ezért a befoglaló kocka megfelelő lappárjával is. Messük el ezzel a négy párhuzamos síkkal a befoglaló kocka \(\displaystyle BD\) átlójú lapját, így a következő ábrát kapjuk.
Itt \(\displaystyle D'_BB'_D=a\) a párhuzamos lapsíkok távolsága, valamint a párhuzamos szelők tétele miatt
\(\displaystyle \frac{1-2x}{1}=\frac{B_DD_B}{BD}=\frac{B'_DD'_B}{D'B}=\frac{a}{\frac 1 {\sqrt 2}}.\)
Másrészről \(\displaystyle ACD\) szabályos háromszög és \(\displaystyle AA_C=AA_D\), ezért \(\displaystyle AA_CA_D\triangle\) is szabályos, így \(\displaystyle x=A_CA_D=a\). Ezt visszaírva az előző összefüggésbe az \(\displaystyle 1-2a=\sqrt 2 a\) egyenletet kapjuk. Ebből \(\displaystyle a=1/(2+\sqrt 2)\), és a keresett térfogat \(\displaystyle V_{kocka}=a^3=1/(2+\sqrt 2)^3\).
Statisztika:
A B. 5300. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2023. februári matematika feladatai