A B. 5315. feladat (2023. április)

B. 5315. Tekintsünk egy \(\displaystyle ABC\) háromszöget. Az \(\displaystyle AB\) oldal meghosszabbításán, \(\displaystyle B\)-n túl vegyük fel a \(\displaystyle B'\) pontot, továbbá az \(\displaystyle AC\) oldal meghosszabbításán, \(\displaystyle C\)-n túl vegyük fel a \(\displaystyle C'\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle BB'=CC'\) teljesüljön. Jelölje \(\displaystyle k\), illetve \(\displaystyle k'\) az \(\displaystyle ABC'\) háromszög, illetve az \(\displaystyle AB'C\) háromszög körülírt körét. Bizonyítandó, hogy \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle k'\) közös húrja az \(\displaystyle A\)-ból induló szögfelezőre esik.

Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A \(\displaystyle k\) és a \(\displaystyle k'\) kör egyik metszéspontja \(\displaystyle A\); jelöljük a második metszéspontot \(\displaystyle M\)-mel. Azt kell igazolnunk, hogy \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BAC\) szög felezőjén van.

Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BAC\) szögtartomány belsejében van. A \(\displaystyle B'\) pont a \(\displaystyle k\) körben a \(\displaystyle AB\) húr meghosszabbításán, tehát a körön kívül van. A \(\displaystyle C\) pont az \(\displaystyle AC'\) húr belső pontja, tehát \(\displaystyle C\) a \(\displaystyle k\) kör belsejébe esik. Ezért a \(\displaystyle k'\) kör mindkét két \(\displaystyle BC'\) íve elmetszi a \(\displaystyle k\) kört. Az \(\displaystyle A\) és az \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle k'\) kör egymással szemközti \(\displaystyle B'C\) ívein vannak, tehát a pontok sorrendje \(\displaystyle B',A,C,M\), így \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle B'AC\) szögtartomány belsejébe esik.

Az \(\displaystyle ABMC'\) és \(\displaystyle AB'MC\) húrnégyszögekből

\(\displaystyle B'BM\sphericalangle = 180^\circ-MBA\sphericalangle = AC'M\sphericalangle = CC'M\sphericalangle \)

és

\(\displaystyle MB'B\sphericalangle = MB'A\sphericalangle = 180^\circ-ACM\sphericalangle = MCC'. \)

A feladat feltételei szerint \(\displaystyle BB'=CC'\). A \(\displaystyle BB'M\) és \(\displaystyle C'CM\) háromszögekben egy-egy oldal, és két-két szög megegyezik; a két háromszög egybevágó. A \(\displaystyle BB'M\) és \(\displaystyle C'CM\) háromszögek egybevágósága miatt az \(\displaystyle M\)-ből induló magasságok is ugyanakkorák; az \(\displaystyle M\) pont tehát ugyanakkora távolságban van az \(\displaystyle ABB'\) és \(\displaystyle ACC'\) egyenesektől, vagyis \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BAC\) szög felezőjén van.

Statisztika:

53 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ali Richárd, Balaskó Imola, Baráth Borbála, Bencz Benedek, Bodor Mátyás, Bui Thuy-Trang Nikolett, Christ Miranda Anna, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Csonka Illés, Czanik Pál, Czirják Márton Pál, Diaconescu Tashi, Erdélyi Kata, Fekete Aron, Gömze Norken, Guthy Gábor, Hodossy Réka, Holló Martin, Horák Zsófia, Horváth 530 Mihály, Inokai Ádám, Jármai Roland, Kerekes András, Kocsis 827 Péter, Kosztolányi Karina, Kovács Benedek Noel, Melján Dávid Gergő, Mizik Lóránt, Nagy 292 Korina, Nagy 429 Leila, Nguyen Kim Dorka, Op Den Kelder Ábel, Pacsay-Tomassich Vince, Petrányi Lilla, Prohászka Bulcsú, Sárdinecz Dóra, Szabó 810 Levente, Szakács Ábel, Szalontai Júlia, Tarján Bernát, Tran Dávid, Tusnády Sámuel, Varga Boldizsár, Veres Dorottya, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Zhai Yu Fan, Zömbik Barnabás.
4 pontot kapott:	Teveli Jakab.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2023. áprilisi matematika feladatai