A B. 5408. feladat (2024. október) |
B. 5408. Egy háromszög egyik oldala számtani közepe a másik kettőnek. Bizonyítandó, hogy ezen középső oldalt kettévágó szögfelező hossza \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)-szerese a másik két oldal mértani közepének.
Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalait jelölje \(\displaystyle BC=a\), \(\displaystyle AC=b\), \(\displaystyle AB=(a+b)/2\); a \(\displaystyle C\)-ből induló belső szögfelező \(\displaystyle CD=f\), \(\displaystyle BD=k\), \(\displaystyle AD=l\) az ábra szerint. A feladat feltétele: \(\displaystyle k+l= \dfrac{a+b}{2}\).
A belső szögfelezővel kapcsolatos ismert összefüggések: \(\displaystyle \dfrac{k}{l} = \dfrac{a}{b}\) és \(\displaystyle f^2 = ab - kl\). Az első összefüggésből \(\displaystyle k=\dfrac{a}{b}\cdot l\), így
\(\displaystyle \dfrac{a+b}{2} = k+l = \dfrac{a}{b}\cdot l + l = \dfrac{a+b}{b}\cdot l, \)
amiből \(\displaystyle l = \dfrac{b}{2}\), ezért \(\displaystyle k = k+l - l = \dfrac{a+b}{2} - \dfrac{b}{2} = \dfrac{a}{2}\). Tehát valóban
\(\displaystyle f^2 = ab - kl = ab - \dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{b}{2} = \dfrac{3}{4}ab, \)
azaz \(\displaystyle f = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{ab}\).
Statisztika:
119 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 55 versenyző. 3 pontot kapott: 38 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 4 dolgozat.
A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai