Problem B. 5418. (November 2024)

B. 5418. Let \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) and \(\displaystyle c\) denote the side lengths of acute triangle \(\displaystyle ABC\), and let \(\displaystyle R\) denote its circumradius. Prove that \(\displaystyle \frac{1}{-a^2+ b^2+c^2}+\frac{1}{a^2-b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}\ge \frac{1}{R^2},\) and find those triangles where equality holds.

Proposed by Géza Kiss, Csömör

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Előzetesen jegyezzük meg, hogy a háromszög –szokásos módon– \(\displaystyle \alpha\)-val, \(\displaystyle \beta\)-val és \(\displaystyle \gamma\)-val jelölt hegyesszögeinek szögfüggvényei mind pozitívak, ezért a következő számolásokban mindig pozitív számokkal szorozzuk vagy osztjuk az egyenlőtlenségünket, annak iránya sehol nem fordul.

Írjuk át a koszinusztétel segítségével a nevezőket, és szorozzuk meg mindkét oldalt \(\displaystyle R^2\)-tel. Így a bizonyítandóval ekvivalens, hogy

\(\displaystyle \frac {R^2}{2bc \cos \alpha}+\frac {R^2}{2ac \cos \beta}+\frac {R^2}{2ab \cos \gamma}\ge 1.\)

A szinusztétel szerint \(\displaystyle R/a=1/2\sin \alpha\), \(\displaystyle R/b=1/2\sin \beta\) és \(\displaystyle R/c=1/2\sin \gamma\), ezeket beírva a megfelelő törtekbe kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac {1}{8\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma}+ \frac {1}{8 \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma}+ \frac {1}{8 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma}\ge 1;\)

amit végigszorova a \(\displaystyle 8\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma\) kifejezéssel, a következő – a bizonyítandóval ekvivalens – egyenlőtlenséget kapjuk:

\(\displaystyle \frac {\sin\alpha}{\cos \alpha} + \frac {\sin\beta}{\cos \beta}+ \frac {\sin\gamma}{\cos \gamma}\ge 8\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma.\)

Jól ismert, hogy egy (nem derékszögű) háromszögben \(\displaystyle \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma=\tan \alpha +\tan \beta+ \tan \gamma\). A bal oldalt eszerint átírva egyszerűsíthetünk a \(\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma\) szorzattal, s így az

\(\displaystyle \frac {1}{\cos \alpha\cos \beta\cos \gamma}\ge 8\)

egyenlőtlenséghez jutunk, amely továbbra is ekvivalens az eredetivel.

Ez az egyenlőtlenség viszont jól ismert, a számtani-mértani középegyenlőtlenség alkalmazásával következik a nevezetes \(\displaystyle \cos \alpha+ \cos \beta +\cos \gamma \le 3/2\) koszinusz-egyenlőtlenségből (lásd például itt vagy itt). Ezzel az állítást beláttuk. Egyenlőség csak szabályos háromszögre teljesül.

Statistics:

58 students sent a solution.
5 points:	Ali Richárd, Aravin Peter, Bencze Mátyás, Bodor Ádám, Bolla Donát Andor, Chen JiaTong, Csató Hanna Zita , Dancs Bálint, Diaconescu Tashi, Fleischman Illés, Gyenes Károly, Holló Martin, Illés Dóra, Kerekes András, Kovács Benedek Noel, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Mikó Hédi Irma, Molnár István Ádám, Péter Hanna, Prohászka Bulcsú, Puppi Barna, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Vámosi Bendegúz Péter, Varga 511 Vivien, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Virág Tóbiás, Wágner Márton.
4 points:	Bui Thuy-Trang Nikolett, Pázmándi József Áron, Pletikoszity Martin, Szilágyi Balázs , Török Eszter Júlia, Veres Dorottya, Zhai Yu Fan.
3 points:	4 students.
2 points:	2 students.
1 point:	5 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2024