Problem B. 5428. (December 2024)

B. 5428. Solve the equation \(\displaystyle 5^{a}+12^{b}=13^{c}\) on non-negative integers.

Proposed by: Ákos Somogyi, London

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Világos, hogy \(\displaystyle (a,b,c)=(0,1,1)\) és \(\displaystyle (a,b,c)=(2,2,2)\) megoldásai az egyenletnek.

Szükségünk lesz az \(\displaystyle 5^a\) és \(\displaystyle 13^c\) hatványok modulo \(\displaystyle 3\), modulo \(\displaystyle 5\), modulo \(\displaystyle 8\), modulo \(\displaystyle 13\) és modulo \(\displaystyle 16\) osztási maradékaira. Mint könnyen ellenőrizhető,

\(\displaystyle 5^{2k}\equiv1, \quad 5^{2k+1}\equiv2\pmod{3}; \)

\(\displaystyle 5^{2k}\equiv1, \quad 5^{2k+1}\equiv5\pmod{8}; \)

\(\displaystyle 5^{4k}\equiv1, \quad 5^{4k+1}\equiv5, \quad 5^{4k+2}\equiv12, \quad 5^{4k+3}\equiv8\pmod{13}; \)

\(\displaystyle 5^{4k}\equiv1, \quad 5^{4k+1}\equiv5, \quad 5^{4k+2}\equiv9, \quad 5^{4k+3}\equiv13\pmod{16}; \)

\(\displaystyle 13^{4k}\equiv1, \quad 13^{4k+1}\equiv3, \quad 13^{4k+2}\equiv4, \quad 13^{4k+3}\equiv2\pmod{5}; \)

\(\displaystyle 13^{2k}\equiv1, \quad 13^{2k+1}\equiv5\pmod{8}; \)

\(\displaystyle 13^{4k}\equiv1, \quad 13^{4k+1}\equiv13, \quad 13^{4k+2}\equiv9, \quad 13^{4k+3}\equiv5\pmod{16}. \)

Először is vegyük észre, hogy \(\displaystyle b=0\) nem lehetséges, mert akkor mindhárom tag páratlan lenne, és \(\displaystyle c=0\) sem lehetséges, mert \(\displaystyle 13^c=5^a+12^b\ge2\). Tehát \(\displaystyle b\ge1\) és \(\displaystyle c\ge1\).

• Ha \(\displaystyle b=1\), vagyis az egyenlet \(\displaystyle 5^a+12=13^c\): vizsgáljuk az egyenletet modulo \(\displaystyle 13\), \(\displaystyle 16\) és \(\displaystyle 5\).

Modulo \(\displaystyle 13\) vizsgálva, \(\displaystyle 5^a=13^c-12\equiv0-12\equiv1\pmod{13}\). Ez csak úgy lehet, ha \(\displaystyle a=4k\) valamilyen nemnegatív egész \(\displaystyle k\)-val.

Ezután modulo \(\displaystyle 16\) vizsgálva,\(\displaystyle 13^c=5^a+12=5^{4k}+12\equiv1+12=13\pmod{16}\), tehát \(\displaystyle c=4m+1\) valamilyen nemnegatív egész \(\displaystyle m\)-mel.

Végül modulo \(\displaystyle 5\) vizsgálva, \(\displaystyle 5^a=13^c-12=13^{4m+1}-12\equiv 3-2=1\pmod{5}\), ami csak úgy lehet, ha \(\displaystyle a=0\).

Ezek után \(\displaystyle 13^c=5^a+12=13\), vagyis \(\displaystyle c=1\).

A \(\displaystyle b=1\) esetben tehát csak egy megoldás van, a \(\displaystyle (0,1,1)\).

• Ha \(\displaystyle b\ge2\), akkor \(\displaystyle 12^b\) osztható \(\displaystyle 16\)-tal. Az egyenletet vizsgáljuk modulo \(\displaystyle 3\) és modulo \(\displaystyle 8\).

Mivel \(\displaystyle 5^a=13^c-12^b\equiv1-0=1\pmod{3}\), az \(\displaystyle a\) kitevő páros: \(\displaystyle a=2x\) valamilyen nemnegatív egész \(\displaystyle x\)-szel.

Mivel \(\displaystyle 13^c=5^a+12^b=5^{2x}+12^b\equiv1+0=1\pmod{8}\), a \(\displaystyle c\) is páros: \(\displaystyle c=2z\) egy pozitív egész \(\displaystyle z\)-vel.

Most tekintsük a

\(\displaystyle 12^b = 13^c-5^a = 13^{2z}-5^{2x} = (13^z+5^x) (13^z-5^x) \)

kifejezést. Vegyük észre, hogy mivel \(\displaystyle 12^b\) pozitív, a \(\displaystyle 13^z-5^x\) is csak pozitív lehet.

Legyen \(\displaystyle 13^z+5^x\) és \(\displaystyle 13^z-5^x\) legnagyobb közös osztója \(\displaystyle d\). Mivel \(\displaystyle 13^z+5^x\) és \(\displaystyle 13^z-5^x\) is páros, a \(\displaystyle d\) is páros. Másrészt \(\displaystyle d\) osztója \(\displaystyle 13^z+5^x\) és \(\displaystyle 13^z-5^x\) összegének és különbségének is: \(\displaystyle d\big|2\cdot13^z\) és \(\displaystyle d\big|2\cdot5^x\). Mindez csak úgy lehet, ha \(\displaystyle d=2\).

A \(\displaystyle 12^b=2^{2k}\cdot 3^b\) számnak két olyan szorzattá alakítása van, amelyben a két tényező pozitív egész, és a legnagyobb közös osztójuk a \(\displaystyle 2\): a \(\displaystyle 2\cdot (2^{2b-1}3^b)\) és a \(\displaystyle 2^{2b-1}\cdot(2\cdot3^b)\). Vegyük azonban észre, hogy a kisebbik tényező, \(\displaystyle 13^z-5^x\) osztható \(\displaystyle 4\)-gyel is. Ezért csak a második szorzat lehetséges, és a \(\displaystyle 4\)-gyel osztható tényező a \(\displaystyle 2^{2b-1}\):

\(\displaystyle 13^z+5^x=2\cdot 3^b, \quad 13^z-5^x=2^{2b-1}.\)

A kettő összegéből és különbségéből kapjuk, hogy

\(\displaystyle 13^z = 3^b+2^{2b-2}, \quad 5^x=3^b-2^{2b-2}.\)

A \(\displaystyle 3^b-2^{2b-2}=5^x>0\) becslésből azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle 3^b > 2^{2b-2} = 4^{b-1}, \)

\(\displaystyle 4 > \bigg(\frac43\bigg)^b, \)

\(\displaystyle b < 5. \)

Ha \(\displaystyle b=2\), akkor \(\displaystyle 13^z=3^2+2^2=13\) és \(\displaystyle 5^x=3^2-2^2=5\), vagyis \(\displaystyle x=z=1\), \(\displaystyle a=c=2\), ezzel megtaláltuk a \(\displaystyle (2,2,2)\) megoldást. Ha \(\displaystyle b=3\), akkor \(\displaystyle 13^z=3^3+2^4=43\), ha pedig \(\displaystyle b=4\), akkor \(\displaystyle 13^z=3^4+2^6=145\), ezek nem adnak megoldást.

Statistics:

58 students sent a solution.
6 points:	Ali Richárd, Aravin Peter, Bencze Mátyás, Bolla Donát Andor, Bui Thuy-Trang Nikolett, Gyenes Károly, Hodossy Réka, Holló Martin, Horák Zsófia, Kerekes András, Kovács Benedek Noel, Li Mingdao, Minh Hoang Tran, Pázmándi József Áron, Prohászka Bulcsú, Rajtik Sándor Barnabás, Sha Jingyuan, Sütő Áron, Török Eszter Júlia, Vigh 279 Zalán, Vödrös Dániel László, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
5 points:	Beinschroth Máté, Diaconescu Tashi.
3 points:	1 student.
2 points:	4 students.
1 point:	6 students.
0 point:	20 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2024