 |
A B. 5432. feladat (2025. január) |
B. 5432. Vannak-e olyan valós \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számok, amelyekre az alábbi három függvény közül egyiknek sincs zérushelye?
$$\begin{gather*} p_1(x)=ax^2-(b^2+1)x+c,\\ p_2(x)=bx^2-(c^2+1)x+a,\\ p_3(x)=cx^2-(a^2+1)x+b. \end{gather*}$$Kámán Ildikó (Budapest) ötletéből
(4 pont)
A beküldési határidő 2025. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) ilyen számok. Egyikük sem lehet nulla, mivel különben a megfelelő elsőfokú polinomfüggvénynek létezne gyöke. Megmutatjuk, hogy mindegyikük pozitív. Ha nem így lenne, akkor valamelyikük, például az \(\displaystyle a\) negatív. Mivel \(\displaystyle p_1(x)\)-nek nincs zérushelye, azért \(\displaystyle (b^2+1)^2-4ac\) negatív, azaz \(\displaystyle 4ac>(b^2+1)^2>0\) miatt \(\displaystyle c\) negatív. Ebből ugyanígy következik – felhasználva, hogy \(\displaystyle p_3(x)\)-nek sincs zérushelye – hogy \(\displaystyle b\) is negatív. Ily módon a másodfokú, negatív főegyütthatós \(\displaystyle p_1(x)\), \(\displaystyle p_2(x)\), \(\displaystyle p_3(x)\) polinomfüggvények minden helyettesítési értéke negatív.
Másrészt az \(\displaystyle S(x):=p_1(x) + p_2(x) +p_3(x)\) polinom \(\displaystyle -1\)-ben fölvett értéke
\(\displaystyle (a+b+c)(-1)^2 - (a^2+b^2+c^2 +3)(-1) + (a+b+c) = (a+1)^2 + (b+1)^2 + (c+1)^2, \)
ami nem negatív. A kapott ellentmondás miatt \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) pozitív számok, ezért eredeti indirekt feltevésünk miatt a másodfokú, pozitív főegyütthatós \(\displaystyle p_1(x)\), \(\displaystyle p_2(x)\), \(\displaystyle p_3(x)\) polinomfüggvények minden helyettesítési értéke pozitív.
A fenti jelöléseket megtartva azonban \(\displaystyle S(1)\) értéke
\(\displaystyle (a+b+c)(+1)^2 - (a^2+b^2+c^2 +3)(+1) + (a+b+c) = - ((a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2), \)
ami nem pozitív. Ebből az ellentmondásból következik, hogy nem léteznek a feladat feltételeit teljesítő \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számok.
Statisztika:
87 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 75 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2025. januári matematika feladatai