Problem B. 5463. (May 2025)

B. 5463. The square \(\displaystyle ABCD\) of positive orientation is given. Construct an equilateral triangle \(\displaystyle BEF\) of positive orientation such that its vertex \(\displaystyle F\) is on ray \(\displaystyle BC\) and \(\displaystyle \angle EAF=45^\circ\).

Proposed by: Viktor Vígh, Sándorfalva

(3 pont)

Deadline expired on June 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Adott szabályos háromszöghöz a feladat feltételének megfelelő négyzet szerkesztése jóval kényelmesebb feladat. Először ezt végezzük el.

Vegyünk fel egy tetszőleges méretű, pozitív körüljárású \(\displaystyle B'E'F'\) szabályos háromszöget. Ennek \(\displaystyle E'F'\) oldala a szerkesztendő négyzet \(\displaystyle A'\) csúcsából \(\displaystyle 45^\circ\)-os szögben látszik, azaz az \(\displaystyle E'F'\) szakasz \(\displaystyle 45^\circ\)-os látókörívének pontja. A \(\displaystyle B'\) pontban a szabályos háromszög oldalára állított merőleges félegyenes kimetszi a megfelelő \(\displaystyle A'\) pontot a látókörívből. Ezután az ábrát \(\displaystyle \frac{AB}{A'B'}\) arányban nagyítva (vagy kicsinyítve) azonnal megkapjuk a megfelelő szabályos háromszög oldalának hosszúságát, és azt az előírt módon felmérhetjük a megadott négyzet \(\displaystyle BC\) oldalára, majd megszerkeszthetjük a keresett szabályos háromszöget. Világos, hogy pontosan egy megoldás van.

Statistics:

33 students sent a solution.
3 points:	Balla Ignác , Baran Júlia, Bencze Mátyás, Bogdán Balázs Ákos, Bolla Donát Andor, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Gyenes Károly, Hicsó Máté Kristóf, Hideg János, Hodossy Réka, Horák Zsófia, Kerekes András, Li Mingdao, Maróti Bálint, Molnár Lili, Nagypál Katóca, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Szaszkó Benedek, Várhegyi Hanna, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
2 points:	Bodor Ádám, Sárdinecz Dóra.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2025