Problem B. 5466. (May 2025)

B. 5466. The side lengths of a triangle are \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) and \(\displaystyle c\). Prove that \(\displaystyle \frac{(b+c)^2}{a^2+bc}+\frac{(c+a)^2}{b^2+ca}+\frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6\).

Crux Mathematicorum

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. A bizonyítandó egyenlőtlenségben vonjunk ki mindegyik törtből 2-t, így a jobb oldalon nulla lesz:

\(\displaystyle \frac{b^2+c^2-2a^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2-2b^2}{b^2+ca}+\frac{a^2+b^2-2c^2}{c^2+ab}\ge 0.\)

Ezt követően mindegyik törtet két tört összegére bontjuk úgy, hogy két oldal négyzetének különbsége szerepeljen a számlálókban.

\(\displaystyle \frac{b^2-a^2}{a^2+bc}+\frac{c^2-a^2}{a^2+bc}+\frac{c^2-b^2}{b^2+ca}+\frac{a^2-b^2}{b^2+ca}+\frac{a^2-c^2}{c^2+ab} +\frac{b^2-c^2}{c^2+ab}\ge 0.\)

Ha két tag számlálója csak előjelben különbözik, akkor azokat összevonjuk:

\(\displaystyle \frac{b^2-a^2}{a^2+bc}+\frac{a^2-b^2}{b^2+ca}=(b^2-a^2)\left[\frac{1}{a^2+bc}-\frac{1}{b^2+ca}\right]=(b^2-a^2)\frac{b^2-a^2+ac-bc}{(a^2+bc)(b^2+ca)}=\)

\(\displaystyle =(b^2-a^2)\frac{(b-a)(a+b-c)}{(a^2+bc)(b^2+ca)}=\frac{(b-a)^2(a+b)(a+b-c)}{(a^2+bc)(b^2+ca)}.\)

Ez a kifejezés a háromszög-egyenlőtlenség alapján nemnegatív. Nulla csak abban az esetben lehet, ha \(\displaystyle a=b\). Ugyanezt az ekvivalens átalakítást elvégezve a másik két párra is látjuk, hogy igaz az állítás. Egyenlőség akkor és csak akkor, ha a háromszög szabályos.

2. megoldás. Átszorzás és egy oldalra rendezés után a bizonyítandó állítás a következő alakra hozható:

\(\displaystyle (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2+ab(a^2-b^2)^2+bc(b^2-c^2)^2+ca(c^2-a^2)^2 \ge 0. \)

Ebből látszik, hogy az állítás tetszőleges pozitív számokra, a háromszög-egyenlőtlenség nélkül is igaz.

Statistics:

26 students sent a solution.
5 points:	Ali Richárd, Aravin Peter, Diaconescu Tashi, Hajba Milán, Li Mingdao, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Szabó 721 Sámuel, Vigh 279 Zalán, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
4 points:	Beinschroth Máté, Fülöp Levente.
3 points:	2 students.
1 point:	2 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2025