A B. 5470. feladat (2025. szeptember)

B. 5470. A Pascal-háromszög \(\displaystyle 14\). sorának három egymást követő eleme \(\displaystyle 1001\), \(\displaystyle 2002\), \(\displaystyle 3003\). Előfordul-e a Pascal-háromszög másik sorában is, hogy három egymást követő elem \(\displaystyle n\), \(\displaystyle 2n\), \(\displaystyle 3n\) valamilyen \(\displaystyle n\) egész számra?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2025. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy a Pascal-háromszög \(\displaystyle k\)-adik sorában a \(\displaystyle \binom{k}{i-1},\binom{k}{i},\binom{k}{i+1}\) binomiális együttható értéke rendre \(\displaystyle n,2n,3n\). Ekkor egyrészt

\(\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{n}{2n}=\frac{\binom{k}{i-1}}{\binom{k}{i}}=\frac{i}{k-i+1},\)

másrészt

\(\displaystyle \frac{3}{2}=\frac{3n}{2n}=\frac{\binom{k}{i+1}}{\binom{k}{i}}=\frac{k-i}{i+1}.\)

Az első egyenletből \(\displaystyle k-i+1=2i\), és így \(\displaystyle k=3i-1\) adódik, a másodikból pedig \(\displaystyle 3i+3=2k-2i\), vagyis \(\displaystyle 2k=5i+3\). Ezért \(\displaystyle k=6k-5k=3(5i+3)-5(3i-1)=14\), tehát mindez csak a Pascal-háromszög 14. sorában lehet.

(Ekkor \(\displaystyle i\) értékére \(\displaystyle i=(k+1)/3=5\) adódik, ezzel a feladat szövegében is megadott \(\displaystyle \binom{14}{4}=1001,\binom{14}{5}=2002,\binom{14}{6}=3003\) hármast kapjuk.)

A feladat kérdésére tehát az a válasz, hogy a Pascal-háromszög másik (14.-től eltérő) sorában mindez nem fordul elő.

Statisztika:

152 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	140 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2025. szeptemberi matematika feladatai