A B. 5471. feladat (2025. szeptember)

B. 5471. Legfeljebb hány számot lehet kiválasztani az első \(\displaystyle 50\) pozitív egész szám közül úgy, hogy semelyik kettő szorzata ne legyen negyedik hatvány?

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2025. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vizsgáljuk meg, hogy mely negyedik hatványok jöhetnek létre két különböző 50-től nem nagyobb pozitív egész szorzataként. Mivel \(\displaystyle 50 \cdot 49 = 2450\) és \(\displaystyle 8^4=4096\), ezért a szorzatként esetleg előálló ,,problémás'' negyedik hatványok: \(\displaystyle 1^4, 2^4, ..., 7^4\). Most megvizsgáljuk, hogy ezek a negyedik hatványok hogyan állhatnak elő két \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 50\) közötti különböző egész szám ,,problémás'' szorzataként.

– \(\displaystyle 1^4=1\) esetén nincs megfelelő szorzat;

– \(\displaystyle 2^4=16\) esetén csak az \(\displaystyle 1 \cdot 16\), és a \(\displaystyle 2 \cdot 8\) szorzat a problémás;

– \(\displaystyle 3^4=81\) esetén csak a \(\displaystyle 3 \cdot 27\) a problémás (az \(\displaystyle 1 \cdot 81\) szorzat második tényezője már túl nagy)

– \(\displaystyle 4^4=256(=2^8)\) esetén csak a \(\displaystyle 8 \cdot 32\) a problémás (mivel a további \(\displaystyle 1 \cdot 256; 2 \cdot 128; 4 \cdot 64\) felbontások során az egyik tényező már 50 fölötti egész);

– \(\displaystyle 5^4=625\) esetén nincs problémás pár mivel a lehetséges felbontások: \(\displaystyle 1 \cdot 625\) és \(\displaystyle 5 \cdot 125\)

– \(\displaystyle 6^4=1296(=2^4 \cdot 3^4)\) esetén csak a \(\displaystyle 27 \cdot 48\) a problémás (mivel \(\displaystyle 1296\)-nak a gyöke, azaz \(\displaystyle 36\) fölött a két legkisebb osztója \(\displaystyle 48\), majd \(\displaystyle 54\); azaz a további szorzatok egyik tényezője már legalább \(\displaystyle 54\))

– míg \(\displaystyle 7^4=2401\) esetén nincs megfelelő megoldás (hiszen az \(\displaystyle 1 \cdot 2401\) és a \(\displaystyle 7 \cdot 343\) szorzatokban is van 50-nél nagyobb egész).

Ezek alapján a problémás számpárainkat három csoportba sorolva:

– első ,,csoport'': (1;16),

– második csoport (2;8) és (8;32) , illetve

– harmadik csoport (3;27) és (27;48).

Mivel a három csoportban – különböző csoportokat nézve – nincs közös szám, ezért nyilván minden csoportból legalább egy számot el kell hagynunk ahhoz, hogy ne keletkezzen szorzatként negyedik hatvány. Azaz összesen legalább 3 szám elhagyandó. Másfelől viszont ha a második csoportból a 8-at, a harmadik csoportból a 27-et hagyjuk el, az első csoportból pedig az 1 és 16 közül pontosan az egyiket, akkor a maradék 47 szám közül semelyik kettő szorzata nem lesz negyedik hatvány.

Válasz: Vagyis legfeljebb 47 számot lehet kiválasztani.

Statisztika:

153 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	112 versenyző.
2 pontot kapott:	20 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	5 dolgozat.

A KöMaL 2025. szeptemberi matematika feladatai