A B. 5474. feladat (2025. szeptember)

B. 5474. Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 11\), \(\displaystyle 15\), \(\displaystyle 16\), \(\displaystyle 17\), \(\displaystyle 19\) és \(\displaystyle 23\) oldalú négyzeteket nem lehet átfedés nélkül bepakolni a \(\displaystyle 45\times 45\)-ös négyzetbe.

Javasolta: Bozóki Sándor (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. október 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Vegyük észre, hogy \(\displaystyle 3^2+4^2+5^2+7^2+8^2+9^2+11^2+15^2+16^2+17^2+19^2+23^2=2025=45^2\), vagyis a kis négyzetek összterülete éppen a nagy négyzet területe. Ezért, ha létezik jó bepakolás, az a nagy négyzet hézagmentes kicsempézését jelenti, és mindegyik csempe mindegyik oldala illeszkedik a négyzetrácshoz.

Tegyük fel, hogy találtunk egy jó bepakolást. Színezzük kékre a \(\displaystyle 15\), \(\displaystyle 16\), \(\displaystyle 17\), \(\displaystyle 19\) és \(\displaystyle 23\) oldalú négyzeteket. A nagy négyzet mind a \(\displaystyle 45\) sorára és mind a \(\displaystyle 45\) oszlopára írjuk oda, hogy a kék négyzetek közül hányat metsz. A felírt szám minden esetben \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 2\) lehet, mert bármely három kék négyzet oldalainak összhossza több, mint \(\displaystyle 45\). Ezért a felírt számok összege legfeljebb \(\displaystyle 2\cdot 45\cdot 2=180\). Másrészről minden kék négyzetet megszámolunk annyiszor, ahány sora, és ahány oszlopa van, ezért a felírt számok összege pontosan \(\displaystyle 2\cdot (15+16+17+19+23)=180\).

Ez csak úgy lehet, ha mindenhova kettest írtunk, de akkor van két kék négyzet, ami az első oszlopban "kezdődik", és van kettő, ami az utolsó oszlopban "végződik", és középen lesz legalább \(\displaystyle 45-19-23=3\) oszlop, amibe legfeljebb egy kék négyzet metsz bele, ellentmondás.

2. megoldás. Bontsuk fel a nagy négyzetet egységnégyzetekre. Számozzuk meg a sorokat és az oszlopokat \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 45\)-ig, és színezzük pirosra azt a \(\displaystyle 16\) kis négyzetet, amelyeknek mindkét koordinátája \(\displaystyle 15\), \(\displaystyle 16\), \(\displaystyle 30\) vagy \(\displaystyle 31\).

Ha létezne a nagy négyzetnek egy kicsempézése az előírt négyzetekkel, akkor ebben a \(\displaystyle 16\), \(\displaystyle 17\), \(\displaystyle 19\) és \(\displaystyle 23\) oldalú négyzetek mindegyike lefedne legalább \(\displaystyle 4\) piros mezőt, a \(\displaystyle 15\) oldalú pedig legalább \(\displaystyle 1\)-et, ami több, mint ahány piros mező van.

Statisztika:

94 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ali Richárd, Beinschroth Máté, Bodó Rókus Dániel, Danka Emma, Farkas András, Gaál Gergely, Hajszter Dóra, Jurácsik Marcell, Kérdő Vilmos, Li Mingdao, Maróti Olga, Molnár-Sáska Tamás, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sarusi-Kis Balázs, Szaszkó Benedek, Tóth Luca, Vályi Nagy Ádám András, Vincze Marcell, Wágner Márton, Wiener Marcell, Zhu Yi.
4 pontot kapott:	29 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2025. szeptemberi matematika feladatai