A B. 5489. feladat (2025. november)

B. 5489. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle ABC\sphericalangle=15^\circ\) és \(\displaystyle CAB\sphericalangle=75^\circ\), továbbá az \(\displaystyle AB\) átfogó felezőpontja \(\displaystyle F\). A \(\displaystyle BC\) befogón vegyük fel a \(\displaystyle D\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle BD=CA\), a \(\displaystyle CA\) félegyenesen az \(\displaystyle A\) ponton túl az \(\displaystyle E\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle CE=BC\) teljesüljön. A \(\displaystyle BE\) és \(\displaystyle CF\) egyenesek metszéspontja legyen \(\displaystyle M\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle DM\) és \(\displaystyle CM\) egyenesek érintik az \(\displaystyle AEF\) háromszög köré írt kört.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(4 pont)

A beküldési határidő 2025. december 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Először a \(\displaystyle CM\) egyenesről mutatjuk meg, hogy érinti az \(\displaystyle AEF\) kört. A szövegben szereplő adatokon túl ábránkon vegyük fel az \(\displaystyle EB\) szakasznak azt a \(\displaystyle K\) pontját, amelyre \(\displaystyle FK=FB\), az \(\displaystyle AB\) átfogó fele.

Az \(\displaystyle ECB\) háromszög egyenlő szárú derékszögű háromszög, így \(\displaystyle FBK\sphericalangle=30^\circ\). A \(\displaystyle K\) pont felvétele alapján \(\displaystyle FKB\sphericalangle\) is \(\displaystyle 30^\circ\), a \(\displaystyle KFB\) háromszög \(\displaystyle K\)-nál fekvő külső szöge pedig \(\displaystyle 60^\circ\), ezen kívül \(\displaystyle AF=FK\), vagyis \(\displaystyle AFK\) szabályos háromszög.

\(\displaystyle EAK\sphericalangle=EAB\sphericalangle- KAF\sphericalangle=105^\circ-60^\circ=45^\circ.\)

Ezzel már azt is látjuk, hogy \(\displaystyle AKE\) háromszög is egyenlő szárú, \(\displaystyle EAK\sphericalangle=AEK\sphericalangle=45^\circ\). Megmutattuk, hogy \(\displaystyle FK=AK=EK\), vagyis \(\displaystyle K\) pont az \(\displaystyle AEF\) kör középpontja.

Számoljuk ki most a \(\displaystyle CFK\) szöget! Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle AF=FB=FC\), \(\displaystyle CFA\sphericalangle\) a \(\displaystyle CFB\) egyenlő szárú háromszög külső szöge, tehát \(\displaystyle CFA\sphericalangle=30^\circ\). Ha ehhez hozzávesszük, hogy \(\displaystyle AFK\sphericalangle=60^\circ\), akkor azonnal adódik, hogy az \(\displaystyle EAK\) kör \(\displaystyle KF\) sugara merőleges a \(\displaystyle CM\)-re, \(\displaystyle CM\) érintője a körnek. Itt azt az ismert tényt is kapjuk, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\)-hez tartozó magassága \(\displaystyle \frac{c}{4}\), lévén \(\displaystyle CFA\sphericalangle=30^\circ\), az ezzel szemközti befogó az átfogó( most \(\displaystyle \frac{c}{2}\)) fele.

A másik érintés bizonyításához tükrözzük a \(\displaystyle CM\) érintőt az \(\displaystyle EM\) átmérőre. Legyen az \(\displaystyle F\) pont tükörképe \(\displaystyle G\). Messe a \(\displaystyle GM\) érintő egyenese az \(\displaystyle AB\) átfogót a \(\displaystyle T\), a \(\displaystyle CB\) befogót a \(\displaystyle D'\) pontban. Azt fogjuk megmutatni, hogy a \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle D'\) pontok egybeesnek.

Az első részben láttuk, hogy \(\displaystyle FKM\sphericalangle=30^\circ\), a \(\displaystyle KFM\) derékszögű háromszög félszabályos. A tükrözés után \(\displaystyle KMG\sphericalangle\) és csúcsszöge \(\displaystyle TMB\sphericalangle\) \(\displaystyle 60^\circ\)-osak, \(\displaystyle MTB\) derékszög, \(\displaystyle T\) pont felezi az \(\displaystyle FB\) szakaszt.

A \(\displaystyle BD'T\) derékszögű háromszög hasonló az eredeti \(\displaystyle BAC\) háromszöghöz, mert \(\displaystyle B\)-nél közös hegyesszögük van. Számítsuk ki az \(\displaystyle x=BD'\) szakasz hosszát a hasonlóság alapján:

\(\displaystyle x:c=\frac{c}{4}: a, \qquad xa=\frac{c^2}{4}.\)

Az első részben rögzítettük, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög átfogóhoz tartozó magassága éppen \(\displaystyle \frac{c}{4}\), így \(\displaystyle \frac{c^2}{4}\) a kétszeres terület, vagyis a befogók szorzatával összevetve \(\displaystyle x=b\). A \(\displaystyle D'\) pont valóban egybeesik a \(\displaystyle D\) ponttal, \(\displaystyle DM\) az \(\displaystyle AEF\) kör érintője.

2. megoldás. A megoldás első lépése a \(\displaystyle D\) pont konstrukciójának megértése. Vegyük fel sorban azokat a \(\displaystyle P\in AB\), \(\displaystyle Q\in BC\), \(\displaystyle R\in BP\), majd \(\displaystyle S\in BQ\) pontokat, amelyekre \(\displaystyle AC=CP=PQ=QR=RS\). A \(\displaystyle CPA\), \(\displaystyle PCQ\), \(\displaystyle QRP\) és \(\displaystyle RQS\) egyenlő szárú háromszögek szögeinek összeszámolásából kapjuk az ábrán megjelölt szögeket:

A \(\displaystyle CQP\) háromszög szabályos, mert mindegyik szöge \(\displaystyle 60^\circ\), továbbá a \(\displaystyle BRS\) háromszög is egyenlő szárú, mert \(\displaystyle RBS\sphericalangle=15^\circ=SRB\sphericalangle\). Ezért a \(\displaystyle CQ=CP\) és a \(\displaystyle BS=RS\). A \(\displaystyle CQR\) és az \(\displaystyle RSB\) egyenlő szárú háromszögek egybevágók, mert szögeik és és száraik megegyeznek. Ezekből leolvashatjuk, hogy \(\displaystyle S=D\) és \(\displaystyle R=F\).

Ezek után egészítsük ki a \(\displaystyle CBE\) háromszöget a \(\displaystyle CBGE\) négyzetté, és legyen \(\displaystyle H\in BG\) és \(\displaystyle I\in EG\) az a két pont, amelyre \(\displaystyle BH=GI=AC\).

A \(\displaystyle CQE\) és a \(\displaystyle BHC\) háromszögek egymás \(\displaystyle 90^\circ\)-os elforgatottjai (az elforgatás középpontja \(\displaystyle BE\) szakasz felezőpontja), ezért \(\displaystyle EQ\perp CF\). Mivel a \(\displaystyle CQF\) háromszög egyenlő szárú, ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle EQ\) a \(\displaystyle CF\) szakasz felezőmerőlegese, ezért a \(\displaystyle CQFE\) négyszög deltoid. A deltoid és a \(\displaystyle CBF\) háromszög szögeinek összeszámolásából \(\displaystyle AEF\sphericalangle=30^\circ=AFC\sphericalangle\), \(\displaystyle EFA\sphericalangle=45^\circ=EIA\sphericalangle\). Utóbbi miatt az \(\displaystyle AFE\) kör átmegy az \(\displaystyle I\) ponton, és a kör \(\displaystyle K\) középpontja az \(\displaystyle AIE\) egyenlő szárú derékszögű háromszög \(\displaystyle AI\) átfogójának felezőpontja; a kör szimmetrikus az \(\displaystyle AI\) húr felező merőlegesére, ami a négyzet \(\displaystyle BE\) átlója.

Végül, \(\displaystyle AFC\sphericalangle=AEF\sphericalangle\) miatt a \(\displaystyle CFM\) egyenes érinti az \(\displaystyle AFE\) kört. A \(\displaystyle GMD\) egyenes a \(\displaystyle CFM\) érintő tükörképe a kör középpontján átmenő \(\displaystyle KM\)-re, ezért ez is érinti a kört.

Statisztika:

A B. 5489. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. novemberi matematika feladatai