 |
A B. 5490. feladat (2025. november) |
B. 5490. Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan pozitív egész \(\displaystyle n\) szám létezik, amelyre a \(\displaystyle {2^n-2025}\), \(\displaystyle {2^n-2024}\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle {2^n+2025}\) számok mind összetettek.
Javasolta: Sándor Csaba (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Minden \(\displaystyle -2025\leq k\leq 2025\)-re legyen \(\displaystyle p_k\) a \(\displaystyle 2^{11}+k\) egyik prímosztója (ilyen létezik, hiszen \(\displaystyle 2^{11}+k\geq 2048-2025>1\)). Legyen \(\displaystyle P=\prod_{k=-2025}^{2025}(p_k-1)\). Ekkor bármely \(\displaystyle m\geq1\) pozitív egészre
$$\begin{align*} 2^{11+mP}+k&\equiv 2^{11}\cdot(2^{p_k-1})^{mP/(p_k-1)}+k\equiv 2^{11}+k\equiv 0\quad\mod p_k\\ &\Rightarrow p_k\mid 2^{11+mP}+k, \end{align*}$$valamint \(\displaystyle 2^{11+mP}+k>2^{11}+k\geq p_k\) teljesül minden \(\displaystyle -2025\leq k\leq 2025\)-ra, azaz \(\displaystyle 2^{11+mP}+k\) minden ilyen \(\displaystyle k\)-ra összetett. Így \(\displaystyle n=11+mP\) minden \(\displaystyle m=1,2,\dots\)-ra megfelel.
Statisztika:
A B. 5490. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2025. novemberi matematika feladatai