 |
A B. 5490. feladat (2025. november) |
B. 5490. Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan pozitív egész \(\displaystyle n\) szám létezik, amelyre a \(\displaystyle {2^n-2025}\), \(\displaystyle {2^n-2024}\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle {2^n+2025}\) számok mind összetettek.
Javasolta: Sándor Csaba (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Minden \(\displaystyle -2025\leq k\leq 2025\)-re legyen \(\displaystyle p_k\) a \(\displaystyle 2^{11}+k\) egyik prímosztója (ilyen létezik, hiszen \(\displaystyle 2^{11}+k\geq 2048-2025>1\)). Legyen \(\displaystyle P=\prod_{k=-2025}^{2025}(p_k-1)\). Ekkor bármely \(\displaystyle m\geq1\) pozitív egészre
$$\begin{align*} 2^{11+mP}+k&\equiv 2^{11}\cdot(2^{p_k-1})^{mP/(p_k-1)}+k\equiv 2^{11}+k\equiv 0\quad\mod p_k\\ &\Rightarrow p_k\mid 2^{11+mP}+k, \end{align*}$$valamint \(\displaystyle 2^{11+mP}+k>2^{11}+k\geq p_k\) teljesül minden \(\displaystyle -2025\leq k\leq 2025\)-ra, azaz \(\displaystyle 2^{11+mP}+k\) minden ilyen \(\displaystyle k\)-ra összetett. Így \(\displaystyle n=11+mP\) minden \(\displaystyle m=1,2,\dots\)-ra megfelel.
Statisztika:
52 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ali Richárd, Beinschroth Máté, Bodor Ádám, Bodor Noémi, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Gál Mózes, Hajba Milán, Holló Martin, Kerekes András, Körmöndi Márk, Li Mingdao, Papp Mátyás, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sarusi-Kis Balázs, Schmidt Botond, Szabó 926 Bálint, Takács András, Tóth László Pál, Vályi Nagy Ádám András, Varga 511 Vivien, Weng Chenxin, Wiener Marcell. 4 pontot kapott: Balla Ignác , Baran Júlia, Sánta Gergely Péter, Terjék Temes, Vincze Marcell, Zhai Yu Fan. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 12 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2025. novemberi matematika feladatai