A B. 5491. feladat (2025. november)

B. 5491. Létezik-e legalább másodfokú, egész együtthatós polinomoknak olyan \(\displaystyle H\) halmaza, amelyre teljesül, hogy minden egész értéket pontosan egy \(\displaystyle H\)-beli polinom vesz fel egész helyen?

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Igen, létezik ilyen halmaz. Vegyük észre, hogy ha vesszük az összes \(\displaystyle ax^3\) alakú polinomot, ahol \(\displaystyle a\) nemnegatív és köbmentes, akkor minden egész számot pontosan egy halmazbeli polinom vesz fel egész helyen, kivéve a \(\displaystyle 0\)-t, mert azt mindegyik felveszi, ezt kell kiküszöbölni.

Ha találunk olyan \(\displaystyle P_0(x), P_1(x), \ldots\) polinomokat, amikre minden nemnulla egész értéket pontosan egy \(\displaystyle P_n\) vesz fel egész helyen, a \(\displaystyle 0\) értéket pedig egyik sem, akkor az

\(\displaystyle x^3, \qquad aP_n(x)^3: \quad n=0,1,2,\ldots, \quad \text{\(\displaystyle a>1\) köbmentes}\)

halmaz megfelelő lesz.

Ilyen \(\displaystyle P_n\)-ek találása pedig már egy ismert feladat, legyen

\(\displaystyle P_n = 2^n(2x+1)\)

Ekkor \(\displaystyle P_n\)-ek értékkészlete diszjunkt, és minden egészt lefednek a \(\displaystyle 0\)-t kivéve

Statisztika:

29 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ali Richárd, Bodor Ádám, Ercse Ferenc, Gyenes Károly, Holló Martin, Máté Marcell, Molnár-Sáska Tamás, Sajter Klaus, Zhai Yu Fan.
4 pontot kapott:	Baranyi Ernő.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2025. novemberi matematika feladatai