A B. 5499. feladat (2025. december)

B. 5499. Egy szabályos 45-szög minden csúcsát kiszíneztük a piros, sárga és zöld színek valamelyikével; mindegyik színnel 15 csúcsot. Egy háromszög piros (sárga, zöld), ha mindhárom csúcsa piros (sárga, zöld). Bizonyítsuk be, hogy van három egybevágó háromszög, amelyek közül az egyik piros, a másik sárga, a harmadik zöld.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(6 pont)

A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a már kiszínezett 45-szög csúcsait \(\displaystyle X_1, X_2, X_3, ..., X_{45}\)-tel. A kiszínezett 45-szögről készítsünk egy másolatot, ennek csúcsait jelölje \(\displaystyle X'_1, X'_2, X'_3, ..., X'_{45}\), méghozzá úgy, hogy \(\displaystyle X_i\) és \(\displaystyle X'_i\) színe minden \(\displaystyle 1\leq i \leq 45\) esetén ugyanaz. Ezen a másolaton jelöljük meg a 15 piros csúcsot, majd a másolatot helyezzük úgy az eredetire, hogy a másolat \(\displaystyle X'_i\) csúcsa pontosan az eredeti 45-szög \(\displaystyle X_i\) csúcsát fedje minden \(\displaystyle 1\leq i \leq 45\) esetén.

A másolatot a két 45-szög közös középpontja körül \(\displaystyle \frac{360^{\circ}}{45} = 8^{\circ}\)-os szöggel elforgatjuk (miközben az eredeti példányt helyben hagyjuk), és megszámoljuk, hogy másolat 15 piros csúcsa ebben az új pozícióban az eredeti 45-szög hány sárga csúcsát fedi. Az ilyen piros-sárga fedések számát nevezzük az adott forgatáshoz tartozó piros-sárga fedési számnak.

Ezt a \(\displaystyle 8^{\circ}\)-os forgatást még 44-szer elvégezzük (amíg ,,körbe nem érünk''), és minden esetben kiszámoljuk az adott forgatáshoz tartozó piros-sárga fedési számot. Mivel összesen 45 különböző forgatási pozíció van, és a forgatások során a 15 piros csúcs mindegyike pontosan egyszer fedi a 15 sárga csúcs mindegyikét, ezért összesen \(\displaystyle 15 \cdot 15 = 225\) piros-sárga fedés van, azaz a 45 darab forgatáshoz tartozó piros-sárga fedési számok összege 225, ami azt jelenti, hogy az átlagos piros-sárga fedési szám \(\displaystyle \dfrac{225}{45}=5\).

Viszont a másolatnak van olyan pozíciója (a 45-dik forgatás után, ami a kezdő pozícióval azonos), amikor minden piros csúcs alatt piros csúcs van, ekkor a piros-sárga fedési szám 0. Ezért van olyan forgatás is, amikor a piros-sárga fedési szám nagyobb az átlagnál, azaz legalább 6. Jelölje az egyik ilyen (legalább 6 piros-sárga fedési számú) forgatás szögét \(\displaystyle \alpha\), a hat piros csúcsot \(\displaystyle P_1, P_2,...,P_6\), míg az ezek \(\displaystyle \alpha\) szöggel elforgatottjaként kapott hat sárga csúcsot \(\displaystyle S_1,S_2,...,S_6\) (amennyiben a piros-sárga fedési szám nagyobb, mint 6 válasszunk a csúcsok közül 6 megfelelő piros, illetve sárga csúcsot).

Most készítsük el a 45-szögnek egy újabb példányát, azon jelöljük meg az előbb talált 6 sárga csúcsot (jelölje ezeket a csúcsokat \(\displaystyle S'_1,S'_2,...,S'_6\)), és a másolatot helyezzük megint úgy az eredetire, hogy a másolat \(\displaystyle S'_i\) csúcsa pontosan az eredeti 45-szög \(\displaystyle S_i\) csúcsát fedje minden \(\displaystyle 1\leq i \leq 6\) esetén. Ezt az újabb másolatot megint csak forgassuk körbe \(\displaystyle 8^{\circ}\)-onként az eredeti sokszögön. A 45 darab forgatás során a 6 kiválasztott sárga csúcs mindegyike sorra lefedi a 15 zöld csúcsot, így összesen \(\displaystyle 6 \cdot 15 = 90\) ,,speciális'' sárga-zöld fedés (most a sárga-zöld fedéseknél csak a hat megjelölt sárga csúcsot számoljuk) van, ami azt jelenti, hogy átlagosan egy forgatásnál \(\displaystyle \dfrac{90}{45}=2\) a speciális sárga-zöld fedési szám. A másolatnak megint csak van olyan pozíciója (megint a 45-dik forgatás után, ami a kezdő pozícióval azonos), amikor minden sárga csúcs alatt sárga csúcs van, ekkor a sárga-zöld fedési szám 0. Ezért van olyan forgatás, amikor a speciális sárga-zöld fedési szám nagyobb az átlagnál, azaz legalább 3. Legyen az egyik ilyen forgatás szöge \(\displaystyle \beta\).

Az előző rész során azt kaptuk, hogy a korábban megtalált \(\displaystyle S_1,S_2,...,S_6\) csúcsokat a 45-szög középpontja körül \(\displaystyle \beta\) szöggel elforgatva a képpontok közül legalább három zöld lesz. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy \(\displaystyle S_1, S_2\) és \(\displaystyle S_3\) azok a sárga csúcsok (vagy ezek közül három olyan, ha több, mint három megfelelő \(\displaystyle S_i\) pont van), amelyek \(\displaystyle \beta\) szöggel elforgatott képe zöld. A zöld képpontokat jelölje \(\displaystyle Z_1, Z_2\) és \(\displaystyle Z_3\).

Továbbá az első rész során bizonyítottak szerint az \(\displaystyle S_1, S_2\) és \(\displaystyle S_3\) csúcsokat a 45-szög középpontja körül \(\displaystyle - \alpha\) szöggel elforgatva a piros \(\displaystyle P_1, P_2\) és \(\displaystyle P_3\) csúcsokat kapjuk.

De akkor a piros \(\displaystyle P_1P_2P_3\), a sárga \(\displaystyle S_1S_2S_3\) és a zöld \(\displaystyle Z_1Z_2Z_3\) háromszögek a 45-szög középpontja körül a megfelelő szöggel egymásba forgathatóak, azaz valóban van három olyan egybevágó háromszög, amelyek közül az egyik piros, a másik sárga, a harmadik pedig zöld.

Statisztika:

26 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Ali Richárd, Bodor Ádám, Danka Emma, Diaconescu Tashi, Ercse Ferenc, Hajba Milán, Holló Martin, Kiss Villő Zsófia, Li Mingdao, Maróti Olga, Pázmándi József Áron, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sárdinecz Dóra, Weng Chenxin, Wiener Marcell.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2025. decemberi matematika feladatai