A C. 1001. feladat (2009. október)

C. 1001. Egy egész számnak két prímosztója van. Osztóinak száma 6, osztóinak összege 28. Melyik ez a szám?

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a szám a feladatnak megfelelően \(\displaystyle n=a^k\cdot b^l\), továbbá az osztók száma \(\displaystyle (k+1)(l+1)=6\). Mivel \(\displaystyle k,l\ge 1\), ezért a két hatványkitevő \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 2\). Tegyük fel, hogy \(\displaystyle k=2\). Az osztók tehát az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle a\), \(\displaystyle a^2\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle ab\) és \(\displaystyle n\), az összegük pedig \(\displaystyle (1+b)(1+a+a^2)=28=1\cdot 28=2\cdot 14=4\cdot 7\). Mivel \(\displaystyle a,b\ge 2\), ezért \(\displaystyle 1+b\ge 3\), tehát \(\displaystyle 1+a+a^2\le 9 1/3\), ugyanakkor \(\displaystyle 1+a+a^2\ge 7\), amiből \(\displaystyle 1+b\le 4\). Tehát a prímosztók csak a \(\displaystyle 2\) és a \(\displaystyle 3\) lehetnek, mégpedig \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=3\) (különben az osztók összege \(\displaystyle 39\)). A keresett szám a 12.

Statisztika:

488 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	136 versenyző.
4 pontot kapott:	117 versenyző.
3 pontot kapott:	75 versenyző.
2 pontot kapott:	75 versenyző.
1 pontot kapott:	61 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	15 dolgozat.

A KöMaL 2009. októberi matematika feladatai