KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A C. 1001. feladat (2009. október)

C. 1001. Egy egész számnak két prímosztója van. Osztóinak száma 6, osztóinak összege 28. Melyik ez a szám?

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen a szám a feladatnak megfelelően \(\displaystyle n=a^k\cdot b^l\), továbbá az osztók száma \(\displaystyle (k+1)(l+1)=6\). Mivel \(\displaystyle k,l\ge 1\), ezért a két hatványkitevő \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 2\). Tegyük fel, hogy \(\displaystyle k=2\). Az osztók tehát az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle a\), \(\displaystyle a^2\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle ab\) és \(\displaystyle n\), az összegük pedig \(\displaystyle (1+b)(1+a+a^2)=28=1\cdot 28=2\cdot 14=4\cdot 7\). Mivel \(\displaystyle a,b\ge 2\), ezért \(\displaystyle 1+b\ge 3\), tehát \(\displaystyle 1+a+a^2\le 9 1/3\), ugyanakkor \(\displaystyle 1+a+a^2\ge 7\), amiből \(\displaystyle 1+b\le 4\). Tehát a prímosztók csak a \(\displaystyle 2\) és a \(\displaystyle 3\) lehetnek, mégpedig \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=3\) (különben az osztók összege \(\displaystyle 39\)). A keresett szám a 12.


Statisztika:

488 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:136 versenyző.
4 pontot kapott:117 versenyző.
3 pontot kapott:75 versenyző.
2 pontot kapott:75 versenyző.
1 pontot kapott:61 versenyző.
0 pontot kapott:9 versenyző.
Nem versenyszerű:15 dolgozat.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley