A C. 1041. feladat (2010. szeptember)

C. 1041. Egy 2010 jegyű kilenccel osztható szám számjegyeit összeadtuk. A kapott szám számjegyeit újra összeadtuk, majd az így kapott szám számjegyeit újra összeadtuk. Mennyi lehetett az eredmény?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha egy szám osztható 9-cel, akkor a számjegyek összege is osztható 9-cel, azaz az összeg számjegyeinek összege is osztható 9-cel s.t.b. Az eredeti 2010-jegyű számot jelöljük \(\displaystyle N\)-nel, a számjegyei összegét \(\displaystyle N_1\)-gyel. Az \(\displaystyle N_1\) számjegyeinek összege legyen \(\displaystyle N_2\), az ő számjegyeinek összege pedig \(\displaystyle N_3\). A feladat \(\displaystyle N_3\) lehetséges értékeinek megadása.

\(\displaystyle N_1\) legalább \(\displaystyle 9\), legnagyobb értékét akkor kapjuk, ha \(\displaystyle N\) csupa 9-esből áll, azaz \(\displaystyle 2010\cdot 9 =18090\). \(\displaystyle N_1\) lehet még bármely, e két szám közötti 9-cel osztható szám.

Ugyanígy \(\displaystyle N_2\) legalább \(\displaystyle 9\), legfeljebb \(\displaystyle 36\) (ez az \(\displaystyle N_1=9999\) esetben fordul elő), minden más esetben kisebb összeget kapunk. Tehát \(\displaystyle N_2\) lehetséges értékei \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 18\), \(\displaystyle 27\), \(\displaystyle 36\). Mind a négyük számjegyeinek összege \(\displaystyle 9\), tehát \(\displaystyle {N_3=9}\).

Statisztika:

397 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	200 versenyző.
4 pontot kapott:	61 versenyző.
3 pontot kapott:	43 versenyző.
2 pontot kapott:	54 versenyző.
1 pontot kapott:	22 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai