Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1063. feladat (2011. január)

C. 1063. Egy épület egyik oldala 20 méter oldalhosszúságú négyzet. A vízszintes talaj két pontjából megmértük a függőleges élek látószögeit. Ezek az egyik pontból 40o és 38o, a másik pontból 32o és 40o. Milyen távolságra van egymástól a két észlelési hely?

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. február 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Készítsünk ábrát. A két észlelési pontot jelöljük \(\displaystyle P_1\)-gyel és \(\displaystyle P_2\)-vel.

Az \(\displaystyle AP_1D\) háromszögben meg tudjuk határozni a \(\displaystyle b\)-vel jelölt szakasz hosszát: \(\displaystyle \tg 40^{\circ}=\frac{20}{b}\), amiből \(\displaystyle b=\frac{20}{\tg 40^{\circ}}\approx23,835.\) Ezzel a módszerrel sorra meghatározzuk az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) szakaszok hosszát.

A \(\displaystyle DAP_2\) háromszögben: \(\displaystyle a=\frac{20}{\tg 32^{\circ}}\approx32,001.\)

A \(\displaystyle CBP_2\) háromszögben: \(\displaystyle c=\frac{20}{\tg 40^{\circ}}\approx23,835.\)

A \(\displaystyle P_1BC\) háromszögben: \(\displaystyle d=\frac{20}{\tg 38^{\circ}}\approx25,599.\)

Ezután olyan háromszögeink keletkeznek, amelyeknek ismerjük mindhárom oldalát és az egyik szögüket szeretnénk kiszámolni. Erre koszinusz-tételeket használunk.

Az \(\displaystyle \alpha _1\)-gyel jelölt szöget az \(\displaystyle ABP_2\) háromszögben felírt koszinusz-tétellel kapjuk meg:

\(\displaystyle c^2=a^2+20^2-2a\cdot 20\cos \alpha _1,\)

\(\displaystyle \alpha _1\approx48,034^{\circ}.\)

Az \(\displaystyle \alpha _2\)-vel jelölt szöget az \(\displaystyle AP_1B\) háromszögben felírt koszinusz-tétellel kapjuk meg:

\(\displaystyle d^2=b^2+20^2-2 b\cdot 20 \cos \alpha _2,\)

amiből \(\displaystyle \alpha _2\approx70,847^{\circ}.\)

A két észlelési pont távolságát \(\displaystyle x\)-szel jelöltem. \(\displaystyle x\)-et is egy koszinusz-tétellel tudjuk kiszámolni, de előbb meg kell határoznunk az ábrán feketével jelölt szöget. A szög nagysága: \(\displaystyle \alpha _2-\alpha _1=22,813^{\circ}.\)

Most már meg tudjuk határozni \(\displaystyle x\)-et a \(\displaystyle P_1AP_2\) háromszögben felírt koszinusz-tétellel:

\(\displaystyle x^2=b^2+a^2-2b\cos 22,813^{\circ}.\)

Ebből \(\displaystyle x\)-re 13,639-et kapunk.

Tehát a két észlelési pont távolsága 13,639 méter.

Enyedi Péter (Szekszárd, Garay János Gimn., 11. o. t.)


Statisztika:

121 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:76 versenyző.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:20 versenyző.
1 pontot kapott:13 versenyző.
0 pontot kapott:6 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2011. januári matematika feladatai