A C. 1137. feladat (2012. október)

C. 1137. A Fibonacci sorozat első két tagja: a₁=1, a₂=1 és minden további tagja egyenlő az előtte álló két tag összegével, azaz a_n=a_n-2+a_n-1 (n3). Bizonyítsuk be, hogy nincs a sorozatnak olyan tagja, amely 13-mal osztva 4 maradékot ad.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A 13-mal való osztási maradékok sorozatát jelölje \(\displaystyle b_1\), \(\displaystyle b_2\) stb. Nyilván \(\displaystyle b_{n}=b_{n-2}+b_{n-1}\) is teljesül.

Írjuk fel a \(\displaystyle b_n\) sorozatot:

\(\displaystyle 1,~1,~2,~3,~5,~8,~0,~8,~8,~3,~11,~1,~12,~0,~12,~12,~11,~10,~8,~5,~0,~5,~5,~10,~2,~12,~1,~0,~1,~1,\ldots\)

Innentől kezdve a maradékok sorozata ismétlődik. Látható, hogy egyik maradék sem 4, vagyis valóban nincs a Fibonacci sorozatnak olyan tagja, ami 13-mal osztva 4 maradékot ad.

Statisztika:

293 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	243 versenyző.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai