A C. 1138. feladat (2012. október)

C. 1138. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. november 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A gyökjelek alatt nemnegatív számok állnak. Mivel \(\displaystyle 4-x(4-x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\geq0\), ezért elég, ha az \(\displaystyle x\leq4\) feltétel teljesül.

A fentiek alapján az egyenlet így írható:

\(\displaystyle |x-2|-\sqrt{4-x}=4.\)

I. eset: \(\displaystyle 2\leq x\leq4\). Ekkor \(\displaystyle |x-2|=x-2\), a kapott egyenletet rendezve:

\(\displaystyle x-6=\sqrt{4-x}.\)

Mivel a jobb oldal nemnegatív, így a bal oldal sem lehet az, vagyis \(\displaystyle x\geq6\), ami ellentmond az \(\displaystyle 2\leq x\leq4\) feltételnek.

II. eset: \(\displaystyle x<2\). Ekkor \(\displaystyle |x-2|=2-x\), az egyenlet rendezve pedig:

\(\displaystyle -2-x=\sqrt{4-x}.\)

Mivel a jobb oldal nemnegatív, azért \(\displaystyle -2-x\geq0\), vagyis \(\displaystyle x\leq-2\).

Négyzetre emelve és rendezve:

\(\displaystyle x^2+4x+4=4-x,\)

\(\displaystyle x^2+5x=x(x+5)=0.\)

Innen \(\displaystyle x_1=0\) és \(\displaystyle x_2=-5\). A \(\displaystyle 0\) hamis gyök, így az egyetlen megoldás:

\(\displaystyle x=-5.\)

Statisztika:

453 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	338 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	41 versenyző.
2 pontot kapott:	33 versenyző.
1 pontot kapott:	19 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2012. októberi matematika feladatai