Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1146. feladat (2012. december)

C. 1146. Adottak a síkon egy ötszög oldalainak felezőpontjai és egyik csúcsa. Mutassuk meg, hogy mindig találunk olyan pontot a síkon, amely az adott pontok közül hárommal együtt egy paralelogrammát, és a másik hárommal együtt is paralelogrammát alkot.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen az ötszög csúcsa \(\displaystyle A\), az ebből a csúcsból kiinduló oldalak felezőpontjai \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\), a további oldalak felezőpontjai pedig \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\), és \(\displaystyle M\). Az ötszög \(\displaystyle A\) csúcsával szomszédos két csúcsot jelölje \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle E\). Megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle BE\) szakasz \(\displaystyle R\) felezőpontja megfelelő pont.

Az \(\displaystyle ABE\) háromszögben a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), és \(\displaystyle R\) pontok oldalfelező pontok, így a középvonalak miatt az \(\displaystyle APQR\) négyszög paralelogramma. Az \(\displaystyle RKLM\) négyszög szintén paralelogramma, mert egy négyszög oldalainak felezőpontjai paralelogrammát határoznak meg.


Statisztika:

166 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:123 versenyző.
4 pontot kapott:14 versenyző.
3 pontot kapott:6 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:7 versenyző.
0 pontot kapott:9 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai