 |
A C. 1147. feladat (2012. december) |
C. 1147. Oldjuk meg a
egyenletet.
(5 pont)
A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyenlet értelmezési tartománya \(\displaystyle x\geq1\). Emeljük négyzetre mindkét oldalt:
\(\displaystyle x^2-1+2\sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1}+x-1=x^3.\)
Rendezve és átalakítva az egyenletet:
\(\displaystyle 0=x^3-x^2-x+2-2\sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1},\)
\(\displaystyle 0=(x^2-1)(x-1)-2\sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1}+1,\)
\(\displaystyle 0=(\sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1}-1)^2.\)
Vagyis \(\displaystyle \sqrt{x^2-1}\sqrt{x-1}=1\). Emeljünk négyzetre:
\(\displaystyle (x^2-1)(x-1)=1,\)
amiből
\(\displaystyle x^3-x^2-x+1=1,\)
\(\displaystyle x(x^2-x-1)=0.\)
Az \(\displaystyle x_1=0\) nem eleme az értelmezési tartománynak. A másodfokú tényező gyökei \(\displaystyle x_{2,3}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}\), ebből a kisebbik szintén nincs benne az értelmezési tartományban. Így az egyetlen megoldás \(\displaystyle x_3=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1,618\).
Megjegyzés: A legtöbb megoldó új ismeretlent vezetett be a következő kifejezések valamelyikére:
1) \(\displaystyle x^3-x^2-x-1\), vagy ennek eltoltja;
2) \(\displaystyle x^3-x^2-x-1\) vagy eltoltjának a gyökére;
3) két négyzetre emelés és \(\displaystyle x^4\)-nel való osztás után \(\displaystyle x-1/x\) helyére;
4) az eredeti egyenlet átrendezése és négyzetre emelése után \(\displaystyle x^2-x\) helyére;
5) az eredeti egyenlet átrendezése és négyzetre emelése után \(\displaystyle x^2-x\) gyökére;
6) 1-2 négyzetre emelés után felismerte, hogy teljes négyzetről van szó.
Statisztika:
266 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 165 versenyző. 4 pontot kapott: 48 versenyző. 3 pontot kapott: 13 versenyző. 2 pontot kapott: 9 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 17 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat.
A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai