A C. 1149. feladat (2012. december)

C. 1149. Egy háromnál nagyobb elemszámú halmazról tudjuk, hogy az egyelemű, a kételemű és a háromelemű részhalmazainak száma egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Hány elemű a halmaz?

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a halmaz \(\displaystyle n\) elemű. Ekkor felírható: \(\displaystyle \binom n1 +\binom n3 =2\binom n2\), ahol \(\displaystyle n\geq3\). Ebből rendezéssel:

\(\displaystyle n+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=2\cdot\frac{n(n-1)}{2},\)

\(\displaystyle 6n+n(n-1)(n-2)=6n(n-1).\)

Osztva \(\displaystyle n\neq0\)-val:

\(\displaystyle 6+(n-1)(n-2)=6(n-1),\)

\(\displaystyle n^2-9n+14=(n-2)(n-7)=0.\)

Mivel \(\displaystyle n\geq3\), ezért az egyetlen megoldás \(\displaystyle n=7\), a halmaz 7 elemű.

Statisztika:

284 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	132 versenyző.
4 pontot kapott:	96 versenyző.
3 pontot kapott:	23 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai