 |
A C. 1154. feladat (2013. január) |
C. 1154. Van-e olyan számtani sorozat, amelyben az első n tag összege n, az első 2n tag összege n2 és az első 3n tag összege n3?
(5 pont)
A beküldési határidő 2013. február 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A sorozat első elemét jelölje \(\displaystyle a_1\), a differenciát pedig \(\displaystyle d\). Ekkor:
\(\displaystyle s_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n=n, \)
\(\displaystyle s_{2n}=\frac{2a_1+(2n-1)d}{2}\cdot 2n=n^2, \)
\(\displaystyle s_{3n}=\frac{2a_1+(3n-1)d}{2}\cdot 3n=n^3. \)
Az első egyenletből:
| (1) | \(\displaystyle 1=a_1+\frac{(n-1)d}{2},\) |
a másodikból:
| (2) | \(\displaystyle \frac n2=a_1+\frac{(2n-1)d}{2},\) |
a harmadikból:
| (3) | \(\displaystyle \frac {n^2}{3}=a_1+\frac{(3n-1)d}{2}.\) |
2)-ből kivonva 1)-et:
\(\displaystyle \frac n2-1=\frac n2\cdot d,\)
\(\displaystyle n-2=nd.\)
3)-ból 1)-et kivonva:
\(\displaystyle \frac{n^2}{3}-1=nd.\)
A két kapott egyenlet jobb bal oldala egyenlő, így a bal oldaluk is az:
\(\displaystyle \frac{n^2}{3}-1=n-2,\)
\(\displaystyle \frac{n^2}{3}-n+1=0,\)
\(\displaystyle n^2-3n+3=0.\)
Ennek az egyenletnek a diszkriminánsa negatív, így nincs megoldása.
Statisztika:
202 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 127 versenyző. 4 pontot kapott: 13 versenyző. 3 pontot kapott: 18 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 27 versenyző.
A KöMaL 2013. januári matematika feladatai