A C. 1230. feladat (2014. április)

C. 1230. Az \(\displaystyle x^2+y^2-2x-4y-45=0\) egyenletű körvonal rácspontjaiból véletlenszerűen választunk hármat. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a három pont derékszögű háromszöget alkot?

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.

Megoldás.

\(\displaystyle x^2+y^2-2x-4y-45=(x-1)^2+(y-2)^2-5-45=0,\)

\(\displaystyle (x-1)^2+(y-2)^2=50,\)

tehát a kör középpontja a \(\displaystyle O(1;2)\), a sugara \(\displaystyle r=\sqrt{50}\). Összesen 12 rácspont van a körvonalon. Ezek 6 átmérőt határoznak meg. Minden átmérőhöz a további 10 pont bármelyikét hozzávehetjük, ekkor derékszögű háromszöget kapunk, és csak így kapunk derékszögű háromszöget. Vagyis \(\displaystyle 6\cdot10=60\) esetben kapunk derékszögű háromszöget. Összesen \(\displaystyle \binom{12}{3}=220\)-féleképp választhatunk ki három rácspontot. A keresett valószínűség tehát: \(\displaystyle \frac{60}{220}=\frac{3}{11}\).

Statisztika:

31 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bálint Karola, Bekő Mária, Bereczki Zoltán, Denke Dorottya, Erdei Ákos, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Hegyi Zoltán, Horváth Bendegúz, Jójárt Alexandra, Kranczler Dóra, Krisztián Jonatán, Molnár Dávid, Nagy Dávid, Nguyen Anh Tuan, Paulovics Zoltán, Porupsánszki István, Rimóczi Alma, Szabó 524 Tímea, Sziegl Benedek, Szűcs Dorina, Telek Máté László, Várkonyi Ádám.
4 pontot kapott:	Farkas Bence, Tari Balázs.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai