A C. 1244. feladat (2014. szeptember)

C. 1244. Egy téglatest minden élének hossza egész szám, testátlója 65, legnagyobb területű átlós metszetének területe 1500. Adjuk meg a téglatest éleinek hosszát. (Az átlós metszet tartalmazza két szemközti lap egymással párhuzamos átlóit.)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle a\geq b\geq c\) a téglatest három élhossza. Ekkor a három átlós metszet területe: \(\displaystyle a\sqrt{b^2+c^2}\), \(\displaystyle b\sqrt{a^2+c^2}\) és \(\displaystyle c\sqrt{a^2+b^2}\). Ezek négyzetét könnyen összehasonlíthatjuk: \(\displaystyle a^2(b^2+c^2)\geq b^2(a^2+c^2)\) és \(\displaystyle a^2(b^2+c^2)\geq c^2(a^2+b^2)\). Tehát az átlós metszetek területe közül \(\displaystyle a\sqrt{b^2+c^2}\) a legnagyobb. Felírhatjuk tehát, hogy \(\displaystyle a\sqrt{b^2+c^2}=1500\), amiből \(\displaystyle a^2(b^2+c^2)=2250000\). Tudjuk még, hogy \(\displaystyle 65=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\), amiből \(\displaystyle 4225=a^2+(b^2+c^2)\). Legyen \(\displaystyle x=a^2\) és \(\displaystyle y=b^2+c^2\). A következő egyenletrendszert kell megoldani: \(\displaystyle x+y=4225\) és \(\displaystyle xy=2250000\). Az elsőből \(\displaystyle y=4225-x\), ezt a másodikba behelyettesítve \(\displaystyle x(4225-x)=2250000\), amiből \(\displaystyle x^2-4225x+2250000=0\). Ebből \(\displaystyle x_1=3600\), \(\displaystyle x_2=625\), de ekkor nem az \(\displaystyle a\) lenne a legnagyobb a három élhossz közül. Tehát \(\displaystyle a^2=3600\), vagyis \(\displaystyle a=60\) és \(\displaystyle b^2+c^2=625\). A \(\displaystyle b^2+c^2=25^2\) egyenletnek két Pitagoraszi számhármas felel meg: \(\displaystyle (a,b,c)=(60,20,15)\) és \(\displaystyle (a,b,c)=(60,24,7)\).

Statisztika:

70 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ahaan S. Rungta, Bereczki Zoltán, Bottlik Judit, Erdei Ákos, Farkas Dóra, Fehér Balázs, Fényes Balázs, Horváth 016 Gábor, Kósa Szilárd, Krisztián Jonatán, Ladányi Zsuzsanna, Mándoki Sára, Mészáros 01 Viktória, Nánási Dániel Bence, Rejtő Balázs, Sándor Gergely, Sudár Ákos, Szabó 157 Dániel, Szépfalvi Bálint, Szűcs Dorina, Tóth 666 Mátyás.
4 pontot kapott:	Brányi Balázs, Csorba Benjámin, Hermann Erik, Horváth 813 Dominika, Iglódi Ferenc, Pap-Takács Mónika, Porupsánszki István, Sipeki Gergely, Stumphauser Nóra, Sziegl Benedek, Varjas István Péter.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai