Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1249. feladat (2014. október)

C. 1249. Oldjuk meg a következő egyenletet:

\(\displaystyle \sqrt{\frac{\cos {15}^\circ}2 x^2 - \cos {45}^\circ x + \sin {15}^\circ}=3 +4\sin^2 15^\circ. \)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Vegyük a gyök alatt álló kifejezés kétszeresét, és próbáljuk meg teljes négyzetté alakítani:

\(\displaystyle \cos15^{\circ}x^2-2\cos45^{\circ}x+2\sin15^{\circ}=A^2.\)

Ha \(\displaystyle A=\sqrt{\cos15^{\circ}}x-\sqrt{2\sin15^{\circ}}\), akkor

\(\displaystyle A^2=\cos15^{\circ}x^2-2\sqrt{2\cos15^{\circ}\sin15^{\circ}}x+2\sin15^{\circ}=\)

\(\displaystyle =\cos15^{\circ}x^2-2\sqrt{\sin30^{\circ}}x+2\sin15^{\circ}=\)

\(\displaystyle =\cos15^{\circ}x^2-2\sqrt{\frac12}x+2\sin15^{\circ}=\)

\(\displaystyle \cos15^{\circ}x^2-2\cos45^{\circ}x+2\sin15^{\circ}.\)

Az egyenlet tehát így írható:

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}\cdot|\sqrt{\cos15^{\circ}}x-\sqrt{2\sin15^{\circ}}|=3+4\sin^215^{\circ}.\)

I. eset: Ha az abszolútérték alatt pozitív szám áll. Ekkor:

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}\sqrt{\cos15^{\circ}}x=3+4\sin^215^{\circ}+\sqrt{\sin15^{\circ}},\)

ebből

\(\displaystyle x_1=\frac{\sqrt2(3+4\sin^215^{\circ}+\sqrt{\sin15^{\circ}})}{\sqrt{\cos15^{\circ}}}\approx5,4344.\)

Ekkor \(\displaystyle \sqrt{\cos15^{\circ}}\cdot5,4344>\sqrt{2\sin15^{\circ}}\), ami valóban ez az eset.

II. eset: Ha az abszolútérték alatt negatív szám áll. Ekkor:

\(\displaystyle -\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{\cos15^{\circ}}x=3+4\sin^215^{\circ}-\sqrt{\sin15^{\circ}},\)

ebből

\(\displaystyle x_2=\frac{\sqrt2(-3-4\sin^215^{\circ}+\sqrt{\sin15^{\circ}})}{\sqrt{\cos15^{\circ}}}\approx-3,9703.\)

Ekkor \(\displaystyle \sqrt{\cos15^{\circ}}\cdot-3,9703<\sqrt{2\sin15^{\circ}}\), ami valóban ez az eset.


Statisztika:

140 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:81 versenyző.
4 pontot kapott:23 versenyző.
3 pontot kapott:8 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:8 versenyző.
0 pontot kapott:15 versenyző.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai