A C. 1252. feladat (2014. november)

C. 1252. Négy egymás után következő páratlan szám szorzata 9-re végződik. Mi lehet a szorzatban a 9-es előtt álló számjegy?

(Matlap, Kolozsvár)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A számok szorzatát felírva: \(\displaystyle (2k-3)(2k-1)(2k+1)(2k+3)=(4k^2-9)(4k^2-1)=16k^4-40k^2+9\) (\(\displaystyle k\) pozitív egész).

Tudjuk, hogy 9-re végződik a szám, tehát \(\displaystyle 16k^4-40k^2+9-9=16k^4-40k^2=10l\), ahol \(\displaystyle l\) pozitív egész. Ebből \(\displaystyle 16k^4=10(l+4k^2)\). Mivel 10 osztója a jobb oldalnak, ezért \(\displaystyle 10|16k^4\) is teljesül. Mivel \(\displaystyle 2|16\) és \(\displaystyle (5,16)=1\), ez pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle 5|k^4\). Mivel 5 prím, ebből \(\displaystyle 5|k\) következik. Legyen \(\displaystyle k=5m\). Ekkor a négy szám szorzata \(\displaystyle 16\cdot625 m^4-40\cdot25m^2+9=10000m^4-1000m^2+9\). Vagyis a 9 előtti számjegy a 0.

Statisztika:

188 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	103 versenyző.
4 pontot kapott:	16 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	20 versenyző.
1 pontot kapott:	19 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2014. novemberi matematika feladatai