A C. 1259. feladat (2014. december)

C. 1259. Gondoltunk három, legalább kétjegyű egész számra. Tudjuk, hogy az első számnál eggyel nagyobb, a második szám kétszeresénél néggyel nagyobb és a harmadik szám háromszorosánál kilenccel nagyobb számok egyenlők. Legalább mekkora lesz a három gondolt szám szorzata?

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a három gondolt szám: \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\). Ekkor \(\displaystyle a+1=2b+4=3c+9\). Mivel \(\displaystyle 2b+4\) páros, ezért \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle c\) páratlan. Az egyenlőségekből az is következik, hogy \(\displaystyle c<b<a\). Mivel a gondolt számok legalább kétjegyűek, ezért \(\displaystyle c\) legkisebb értéke 11. Ekkor \(\displaystyle b=\frac{3c+5}{2}=19\), \(\displaystyle a=3c+8=41\). Nagyobb \(\displaystyle c\) esetén \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle a\) is nagyobb lesz. Vagyis a keresett legkisebb szorzat: \(\displaystyle abc=41\cdot19\cdot11=8569\).

Statisztika:

168 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	145 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai