A C. 1268. feladat (2015. január)

C. 1268. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) valós számokra fennáll:

\(\displaystyle a^4+b^4+2\ge 4ab. \)

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A megadott egyenlőtlenség ekvivalens az \(\displaystyle \frac{a^4+b^4+2}{4}\geq ab\) egyenlőtlenséggel. Ez utóbbi pedig, mivel \(\displaystyle a^4\), \(\displaystyle b^4\) és 1 nemnegatív számok, a számtani és a mértani közepek közötti egyenlőtlenséggel könnyen bizonyítható:

\(\displaystyle \frac{a^4+b^4+2}{4}=\frac{a^4+b^4+1^4+1^4}{4}\geq\root4\of{a^4\cdot b^4\cdot1^4\cdot1^4}\geq |a|\cdot|b|\geq ab.\)

Statisztika:

159 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	94 versenyző.
4 pontot kapott:	31 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2015. januári matematika feladatai