A C. 1273. feladat (2015. február)

C. 1273. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle n,k\in \mathbb{N}\) esetén \(\displaystyle 3^{4n}+4\cdot 7^{4k}\) osztható 5-tel.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. március 10-én LEJÁRT.

1. megoldás.

\(\displaystyle 3^{4n}+4\cdot 7^{4k}=(3^4)^n+4\cdot(7^4)^k=81^n+4\cdot2401^k.\)

Ha két szám 5-tel osztva 1 maradékot ad, akkor a szorzatuk is: \(\displaystyle (5k+1)(5m+1)=25km+5k+5m+1=5(5km+k+m)+1\). Ebből következik, hogy ha egy szám 5-tel osztva 1 maradékot ad, akkor ez igaz a szám tetszőleges hatványára is. Mivel a 81 és a 2401 is 1 maradékot ad 5-tel osztva, ezért bármilyen hatványuk is 1-et ad 5-tel osztva maradékul. Tehát a kifejezés 5-tel osztva \(\displaystyle 1+4\cdot1=5\) maradékot ad, vagyis osztható 5-tel.

2. megoldás. Ha \(\displaystyle n=0\) és \(\displaystyle k=0\), akkor a kifejezés értéke \(\displaystyle 1+4\cdot1=5\), ami osztható 5-tel.

Bebizonyítjuk, hogy a kifejezés két tagjának értéke külön-külön 5-tel osztható számmal nő, ha \(\displaystyle n\), illetve \(\displaystyle k\) értékét 1-gyel növeljük:

\(\displaystyle 3^{4(n+1)}-3^{4n}=3^{4n}\cdot(3^4-1)=3^{4n}\cdot80,\)

\(\displaystyle 4\cdot7^{4(k+1)}-4\cdot7^{4k}=4\cdot7^{4k}\cdot(7^4-1)=4\cdot7^{4k}\cdot2400,\)

mindkét esetben egész számot szorzunk 5-tel osztható számmal, így az eredmény is 5-tel osztható.

Statisztika:

144 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	54 versenyző.
4 pontot kapott:	45 versenyző.
3 pontot kapott:	37 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2015. februári matematika feladatai