A C. 1278. feladat (2015. február)

C. 1278. Határozzuk meg \(\displaystyle n\) értékét, ha \(\displaystyle \binom n1\), \(\displaystyle \binom n2\) és \(\displaystyle \binom n3\) egy növekvő számtani sorozat három egymást követő tagja.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tudjuk, hogy \(\displaystyle \binom n1=n\), \(\displaystyle \binom n2=\frac{n(n-1)}{2}\) és \(\displaystyle \binom n3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\). Jelenlegi iskolai ismereteink alapján ezt \(\displaystyle n\geq3\) esetén értelmezzük.

Egy számtani sorozatban három egymást követő tag közül a középső kétszerese egyenlő a másik kettő összegével:

\(\displaystyle 2\cdot\frac{n(n-1)}{2}=n+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}.\)

Mivel \(\displaystyle n\neq0\), ezért oszthatunk vele. Mindkét oldalt szorozva 6-tal és osztva \(\displaystyle n\)-nel, majd tovább alakítva az egyenletet:

\(\displaystyle 6(n-1)=6+(n-1)(n-2),\)

\(\displaystyle 6n-6=6+n^2-3n+2,\)

\(\displaystyle 0=n^2-9n+14=(n-2)(n-7).\)

A fentiek miatt csak az \(\displaystyle n=7\) eset lehetséges. Valóban, ekkor \(\displaystyle \binom 71=7\), \(\displaystyle \binom 72=\frac{7\cdot6}{2}=21=7+14\) és \(\displaystyle \binom 73=\frac{7\cdot6\cdot5}{6}=35=21+14\).

Megjegyzés: A binomiális együtthatók kiterjeszthetők pl. az \(\displaystyle n<k\) egész számokra, ekkor \(\displaystyle \binom nk=0\). Ebben az esetben sem megoldás az \(\displaystyle n=2\), hiszen \(\displaystyle \binom21=2\), \(\displaystyle \binom22=1\) és \(\displaystyle \binom23=0\) egy csökkenő számtani sorozat három egymást követő tagja; illetve \(\displaystyle n=0\) esetén mindhárom tag 0, az sem megoldás.

Statisztika:

54 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bálint Karola, Bánóczi Anna, Bodonhelyi Anna, Brányi Balázs, Erdei Ákos, Farkas Dóra, Fényes Balázs, Fülöp Erik, Horváth 016 Gábor, Jójárt Alexandra, Kasó Ferenc, Kósa Szilárd, Krisztián Jonatán, Krizsán Levente, Magyar Nándor Dávid, Mándoki Sára, Mészáros 01 Viktória, Porupsánszki István, Telek Máté László, Török Réka , Varjas István Péter, Vida Máté Gergely.
4 pontot kapott:	Bereczki Zoltán, Bese Csongor, Bottlik Judit, Egyházi Anna, Fehér Balázs, Gracia Dániel, Kocsis-Savanya Miklós, Ramács Gábor, Sándor Gergely, Sudár Ákos, Szabó 157 Dániel, Szász Róbert, Sziegl Benedek, Szűcs Dorina, Szücs Patrícia, Tóth Bence Tamás, Varga 888 Lili, Viharos Loránd Ottó.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2015. februári matematika feladatai