Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1290. feladat (2015. április)

C. 1290. Oldjuk meg az \(\displaystyle (x;y)\) egész számpárok körében a \(\displaystyle 2xy+2x-5y=40\) egyenletet.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Próbáljunk szorzattá bontani. Ha az \(\displaystyle (Ax+B)(Cy+E)=D\) alakot nézzük, akkor látható, hogy \(\displaystyle AC=2\), \(\displaystyle AE=2\), \(\displaystyle BC=-5\). Az első kettőből \(\displaystyle A(C-E)=0\), amiből \(\displaystyle A\neq0\) miatt \(\displaystyle C=E\) következik. Mivel \(\displaystyle BC=-5\), és egész számokat keresünk, próbáljuk ki a \(\displaystyle C=E=1\), \(\displaystyle B=-5\) és \(\displaystyle A=2\) számokat: \(\displaystyle (2x-5)(y+1)=D\), amiből \(\displaystyle D=35\). Mivel a 35 prímtényezős felbontása \(\displaystyle 5\cdot7\), ezért a lehetséges esetek:

\(\displaystyle 2x-5\) \(\displaystyle -35\) \(\displaystyle -7\) \(\displaystyle -5\) \(\displaystyle -1\) \(\displaystyle 35\) \(\displaystyle 7\) \(\displaystyle 5\) \(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle y+1\) \(\displaystyle -1\) \(\displaystyle -5\) \(\displaystyle -7\) \(\displaystyle -35\) \(\displaystyle 1\) \(\displaystyle 5\) \(\displaystyle 7\) \(\displaystyle 35\)
\(\displaystyle x\) \(\displaystyle -15\) \(\displaystyle -1\) \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle 2\) \(\displaystyle 20\) \(\displaystyle 6\) \(\displaystyle 5\) \(\displaystyle 3\)
\(\displaystyle y\) \(\displaystyle -2\) \(\displaystyle -6\) \(\displaystyle -8\) \(\displaystyle -36\) \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle 4\) \(\displaystyle 6\) \(\displaystyle 34\)

Statisztika:

136 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:92 versenyző.
4 pontot kapott:27 versenyző.
3 pontot kapott:6 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2015. áprilisi matematika feladatai