![]() |
A C. 1318. feladat (2015. november) |
C. 1318. Az 518 számnak van egy érdekes tulajdonsága. Képezzük azt a hat darab háromjegyű számot, amelyek számjegyei az 518 számjegyeinek különböző permutációi. Az így kapott számok átlaga éppen 518. Keressük meg az ilyen tulajdonságú különböző számjegyekből álló háromjegyű számokat.
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle \frac16(\overline{abc}+\overline{acb}+\overline{bac}+\overline{bca} +\overline{cab}+\overline{cba})=\frac{222}{6}(a+b+c)=\overline{abc}\), ahol \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c>0\). Ebből
\(\displaystyle 37(a+b+c)=100a+10b+c,\)
\(\displaystyle 27b+36c=63a,\)
\(\displaystyle 3b+4c=7a.\)
Innen a \(\displaystyle b\)-t kifejezve:
\(\displaystyle b=\frac{7a-4c}{3}=\frac{6a-3c}{3}+\frac{a-c}{3}=2a-c+\frac{a-c}{3}.\)
Mivel \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle 2a-c\) is egész, így \(\displaystyle \frac{a-c}{3}\) is az, vagyis \(\displaystyle 3|a-c\).
Ha \(\displaystyle a=c\), akkor abból \(\displaystyle b=a\) is következik, vagyis ekkor nem különböznek egymástól a számjegyek. Tehát \(\displaystyle a\neq c\).
Ha \(\displaystyle a=1\) és \(\displaystyle c=4\), akkor \(\displaystyle b<0\) lenne. Így \(\displaystyle c=7\) sem lehet.
Ha \(\displaystyle a=2\), akkor \(\displaystyle c=5\), de ekkor \(\displaystyle b<0\). Tehát itt sem kell megnézni a többi esetet.
Végignézve a lehetséges eseteket, a következő megoldásokat kapjuk: 481, 518, 592, 629.
Statisztika:
209 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 81 versenyző. 4 pontot kapott: 47 versenyző. 3 pontot kapott: 16 versenyző. 2 pontot kapott: 26 versenyző. 1 pontot kapott: 25 versenyző. 0 pontot kapott: 13 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2015. novemberi matematika feladatai